자연계열 1번

(1) 빛의 입사각과 반사각이 같으므로 첫 번째 반사지점을 지나는 동경과 시초선($\displaystyle x$축의 양의 방향 반직선)이 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$라고 두면,$\displaystyle \alpha=\pi-2\theta$이고 $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle 0<\alpha<\pi$이다.또한 2번째, 3번째 반사지점을 지나는 동경과 시초선이 이루는 각은 각각 $\displaystyle 2\alpha, 3\alpha$가 된다.문제의 가정에 의해 $\displaystyle 2\alpha<\pi<3\alpha$이므로 $\displaystyle \alpha=\pi-2\theta$로 부터 부등식 $\displaystyle \frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{3}$을 얻는다.

이때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,0)$에 대하여 선분 OP의 길이는 $\displaystyle -x$이므로, 두 번째 반사지점과 점 P, 원점 O를 꼭지점으로 하는 삼각형과 사인법칙에 의해,$\displaystyle \frac{-x}{\sin\theta}=\frac{1}{\sin(2\pi-5\theta)}$

이다. 따라서, $\displaystyle \sin(2\pi-5\theta)=-\sin5\theta$에 의해서 $\displaystyle x=\frac{\sin\theta}{\sin5\theta}$이다.

(2) $\displaystyle \theta=\frac{7\pi}{24}$이므로 덧셈정리를 이용하여$\displaystyle \sin\theta=\sin\frac{7\pi}{24}=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{24}\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{24}-\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{24}=\frac{1}{2}\left\{a\sqrt{3}-\sqrt{1-a^{2}}\right\}$을 얻고$\displaystyle \sin5\theta=\sin\frac{35\pi}{24}=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{24}\right)=\sin\frac{3\pi}{2}\cos\frac{\pi}{24}-\cos\frac{3\pi}{2}\sin\frac{\pi}{24}=-a$이므로, 점 P의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{\sin\theta}{\sin5\theta}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{1-a^{2}}}{2a}$이다.

한편 $\displaystyle 2\alpha=2\pi-4\theta=\frac{5\pi}{6}$이므로 2번째 반사지점의 좌표는 $\displaystyle (\cos2\alpha,\sin2\alpha)=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$이다.따라서, 2번째 반사지점에서 점 P까지 빛의 이동거리는$\displaystyle \sqrt{(x-\cos2\alpha)^{2}+(\sin2\alpha)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{1-a^{2}}}{2a}\right)^{2}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2a}$이다.

첫 번째 반사지점을 지나는 동경이 시초선과 이루는 각은 $\displaystyle \alpha=\pi-2\theta=\frac{5\pi}{64}$이다.두 번째 이상의 각 반사지점의 동경과 시초선이 이루는 각은 직전 반사지점을 지나는 동경과 시초선이 이루는 각에 $\displaystyle \alpha=\frac{5\pi}{64}$을 더한 것이므로,$\displaystyle n$번째 반사지점의 동경과 시초선이 이루는 각은 $\displaystyle n\alpha=\frac{5n\pi}{64}$가 된다.

따라서 문제에서 주어진 호 $\displaystyle H$에 $\displaystyle n$번째 반사지점이 있다는 것은 어떤 $\displaystyle p=0,1,2,\cdots$에 대하여$\displaystyle 2p\pi+\frac{18\pi}{64}\le\frac{5n\pi}{64}\le2p\pi+\frac{21\pi}{64}$를 만족한다는 의미가 된다.

빛이 2번째로 호 $\displaystyle H$와 만나게 되는 순간의 $\displaystyle n$을 $\displaystyle p$의 값을 키워가며 찾아간다.· $\displaystyle p=0$일 때, $\displaystyle \frac{18\pi}{64}\le\frac{5n\pi}{64}\le\frac{21\pi}{64}$를 정리하면 $\displaystyle 18\le5n\le21$, 즉 $\displaystyle n=4$이다. 따라서 빛은 4번째 반사지점에서 처음 호 $\displaystyle H$와 만난다.· $\displaystyle p=1$일 때, $\displaystyle 2\pi+\frac{18\pi}{64}\le\frac{5n\pi}{64}\le2\pi+\frac{21\pi}{64}$를 정리하면 $\displaystyle 146\le5n\le149$인데, 이 부등식을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$은 없다.· $\displaystyle p=2$일 때, $\displaystyle 4\pi+\frac{18\pi}{64}\le\frac{5n\pi}{64}\le4\pi+\frac{21\pi}{64}$를 정리하면 $\displaystyle 274\le5n\le277$이고, $\displaystyle n=55$이다.따라서, 빛이 2번째로 호 $\displaystyle H$와 만나는 반사지점은 55번째 반사지점이다.

점 $\displaystyle \mathrm{I}(1,0)$이 발사된 빛의 반사지점 중 하나가 된다고 가정하자. 그러면 적당한 자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle p$에 대해$\displaystyle n\left(\pi-\frac{2\pi}{\sqrt{6}}\right)=2p\pi$ 또는 $\displaystyle \sqrt{6}=\frac{n}{n-2p}$을 만족해야 한다.

하지만, 두 번째 식의 우변이 유리수이므로 $\displaystyle \sqrt{6}$이 무리수라는 사실에 모순이다.따라서 귀류법에 의하여, 위 식을 만족하는 $\displaystyle n$과 $\displaystyle p$를 찾을 수 없고, 점 $\displaystyle \mathrm{I}(1,0)$은 발사각이 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{\sqrt{6}}$인 빛의 반사지점 중 하나가 될 수 없다.