자연계열 3번

배점30점

예상 소요 시간미공개

문제

[문제 3] (30점)

※ 다음 제시문을 읽고 답하시오.

나) 1988년 수학 잡지인 The Mathematical Intelligencer에서 독자들을 상대로 어떤 수학 정리가 가장 아름다운가에 대하여 설문조사를 하였는데, 그 결과 오일러(Euler) 등식, $\displaystyle e^{i\pi}=-1$ 이 1위를 차지하였다. 여기서 $\displaystyle e$ 는 자연상수, $\displaystyle \pi$ 는 원주율, $\displaystyle i$ 는 허수 단위이다. 오일러 등식은 오일러 공식의 특수한 경우이다.오일러 공식: $\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ , $\displaystyle \theta$ 는 라디안(rad)<그림 3-2>와 같이 서로 직교하는 실수 축과 허수 축으로 이루어진 좌표평면을 복소평면이라 한다. 이 복소평면에서 반지름의 크기가 1인 원 위의 점 $\displaystyle z=x+iy$ 를 생각해 보자. 이때 삼각함수를 이용하면 $\displaystyle x=\cos\theta$ , $\displaystyle y=\sin\theta$ 가 된다. 따라서 $\displaystyle x+iy=e^{i\theta}$ 임을 알 수 있다. 삼각함수의 주기적인 특성은 오일러 공식을 이용하여 복소평면 상의 회전으로 바꾸어 표현할 수 있다.

실수 축과 허수 축으로 이루어진 복소평면 위의 단위원과, 각 θ에 대응하는 점 z의 좌표 cos θ, sin θ를 표시한 그림 — <그림 3-2>

[문제 3-2] $\displaystyle (\sqrt{3}+i)^{12}$ 의 값을 제시문 나)의 오일러 공식을 이용하여 구할 수 있음을 보여라.

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+2점 ·

\displaystyle \sqrt{3}+i=2e^{i\frac{\pi}{6}}

로 고친다.

$\displaystyle \sqrt{3}+i=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=2e^{i\frac{\pi}{6}}$

+3점 · 거듭제곱해

\displaystyle (\sqrt{3}+i)^{12}=2^{12}e^{i(2\pi)}

를 얻는다.

$\displaystyle (\sqrt{3}+i)^{12}=2^{12}e^{i\left(12\times\frac{\pi}{6}\right)}=2^{12}e^{i(2\pi)}$

+5점 ·

\displaystyle e^{i(2\pi)}=1

을 써서

\displaystyle 4096

을 구한다.

$\displaystyle e^{i(2\pi)}=1$ 이므로 $\displaystyle 2^{12}e^{i(2\pi)}=2^{12}=4096$

Comment. 대학은 $\displaystyle 2^{12}$ 도 답으로 인정한다고 밝혔다.

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