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자연계열 3번

배점37점
예상 소요 시간45분

문제

[마] 좌표공간의 두 점 A(x1, y1, z1),B(x2, y2, z2)\displaystyle \mathrm{A}(x_{1},\ y_{1},\ z_{1}), \mathrm{B}(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})에 대하여 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}를 m:n (m>0, n>0)\displaystyle m:n\,(m>0,\ n>0)으로 내분하는 점 P의 좌표는 (mx2+nx1m+n, my2+ny1m+n, mz2+nz1m+n)\displaystyle \left(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n},\ \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n},\ \frac{mz_{2}+nz_{1}}{m+n}\right)

[바] 평면 β\displaystyle \beta 위의 도형의 넓이를 S\displaystyle S, 이 도형의 평면 α\displaystyle \alpha 위로의 정사영의 넓이를 S′\displaystyle S^{\prime}이라고 할 때, 두 평면 α, β\displaystyle \alpha,\ \beta가 이루는 각의 크기를 θ (0∘≤θ≤90∘)\displaystyle \theta\,(0^{\circ}\le\theta\le 90^{\circ})라고 하면 S′=Scos⁡θ\displaystyle S^{\prime}=S\cos\theta

[논제 Ⅲ] 구 x2+y2+(z−1)2=1\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 위에 두 점 A(0, 0, 2)\displaystyle \mathrm{A}(0,\ 0,\ 2), P(a, a, b)\displaystyle \mathrm{P}(a,\ a,\ b)가 있다. xy\displaystyle xy평면 위의 점 Q에 대하여 점 P가 선분 AQ를 1:4\displaystyle 1:4로 내분할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, a, b\displaystyle a,\ b는 양수이다.)

(1) 점 P와 점 Q의 좌표를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (10점)

(2) 점 A와 점 P가 아닌 구 위의 점 R에 대하여 삼각형 ARQ의 xy\displaystyle xy평면 위로의 정사영을 F\displaystyle F라 하고 삼각형 ARQ와 xy\displaystyle xy평면이 이루는 각의 크기를 θ\displaystyle \theta라 하자. F\displaystyle F의 넓이가 최대가 될 때, 삼각형 ARQ의 세 변의 길이와 cos⁡θ\displaystyle \cos\theta의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (27점)

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(1) 점 Q의 좌표를 (x1, y1, 0)\displaystyle (x_{1},\ y_{1},\ 0)이라 두면점 P는 선분 AQ를 1:4\displaystyle 1:4로 내분하는 점이므로P(1×x1+4×05, 1×y1+4×05, 1×0+4×25)=(x15, y15, 85)\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{1\times x_{1}+4\times 0}{5},\ \frac{1\times y_{1}+4\times 0}{5},\ \frac{1\times 0+4\times 2}{5}\right)=\left(\frac{x_{1}}{5},\ \frac{y_{1}}{5},\ \frac{8}{5}\right)점 P의 좌표는 (a, a, b)\displaystyle (a,\ a,\ b)이므로, x1=y1=5a\displaystyle x_{1}=y_{1}=5a이고 b=85\displaystyle b=\frac{8}{5}이다.

한편 점 P는 구 위의 점이므로 a2+a2+(b−1)2=1\displaystyle a^{2}+a^{2}+(b-1)^{2}=1이고이를 풀면, a=225\displaystyle a=\frac{2\sqrt{2}}{5}, x1=y1=22\displaystyle x_{1}=y_{1}=2\sqrt{2}가 된다.따라서 점 P의 좌표와 점 Q의 좌표는 각각(225, 225, 85)\displaystyle \left(\frac{2\sqrt{2}}{5},\ \frac{2\sqrt{2}}{5},\ \frac{8}{5}\right), (22, 22, 0)\displaystyle (2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2},\ 0)이다.

(2) 아래 그림과 같이 구 위의 점 R에서 xy\displaystyle xy평면에 내린 수선의 발을 R′\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}이라 하면,

좌표공간 입체 그림. 중심 (0,0,1)·반지름 1인 구의 최고점에 A, 구 위에 P와 R이 있고, R에서 z축에 내린 수선의 발 C와 xy평면에 내린 수선의 발 R′, xy평면 위의 점 Q가 표시되어 삼각형 ARQ와 그 정사영 삼각형 OR′Q가 함께 그려져 있다

삼각형 ARQ의 xy\displaystyle xy평면 위로의 정사영 F\displaystyle F는 삼각형 OR′Q\displaystyle \mathrm{OR}^{\prime}\mathrm{Q}이다.이때, F\displaystyle F의 넓이가 최대가 되려면 점 R′\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}은 원 x2+y2=1\displaystyle x^{2}+y^{2}=1 위에 있는 점들 중선분 OR′\displaystyle \mathrm{OR}^{\prime}이 선분 OQ와 수직인 점이며, 점 R의 z\displaystyle z좌표는 1이어야 한다.(그림에서와는 달리 반대편에도 R이 위치 할 수 있다.)또한 R′Q‾=17\displaystyle \overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{Q}}=\sqrt{17}이 된다.점 R에서 z\displaystyle z축에 내린 수선의 발을 C라 하면,AQ‾=AO‾2+OQ‾2=25\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AO}}^{2}+\overline{\mathrm{OQ}}^{2}}=2\sqrt{5}, AR‾=AC‾2+CR‾2=2\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AC}}^{2}+\overline{\mathrm{CR}}^{2}}=\sqrt{2}, RQ‾=RR′‾2+R′Q‾2=32\displaystyle \overline{\mathrm{RQ}}=\sqrt{\overline{\mathrm{RR}^{\prime}}^{2}+\overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{Q}}^{2}}=3\sqrt{2}

이때 AQ‾2=AR‾2+RQ‾2\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}^{2}=\overline{\mathrm{AR}}^{2}+\overline{\mathrm{RQ}}^{2}이므로 삼각형 ARQ는 직각삼각형이고,넓이는 12AR‾×RQ‾=3\displaystyle \frac{1}{2}\overline{\mathrm{AR}}\times\overline{\mathrm{RQ}}=3이다.한편 삼각형 ARQ의 xy\displaystyle xy평면 위로의 정사영의 넓이는삼각형 OR′Q\displaystyle \mathrm{OR}^{\prime}\mathrm{Q}의 넓이 12OQ‾×OR′‾=2\displaystyle \frac{1}{2}\overline{\mathrm{OQ}}\times\overline{\mathrm{OR}^{\prime}}=2이다.따라서 cos⁡θ=△OR′Q△ARQ=23\displaystyle \cos\theta=\frac{\triangle\mathrm{OR}^{\prime}\mathrm{Q}}{\triangle\mathrm{ARQ}}=\frac{2}{3}

채점기준

점 P의 좌표를 구한다.5점
점 Q의 좌표를 구한다.5점
정사영의 넓이가 최대가 되는 상황을 설명한다.9점
삼각형 ARQ의 세 변의 길이를 구한다.9점
`\cos\theta`의 값을 구한다.9점
총점37점

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