경북대 2013학년도 수시 자연계열 2번 해설

문제

【제시문 2】

(가) $\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 을 만족하는 자연수 $\displaystyle a, b, c$ 의 쌍 $\displaystyle (a,b,c)$ 를 피타고라스 수라고 한다. 다음은 피타고라스 수의 예이다. $\displaystyle (3,4,5)\quad(6,8,10)\quad(9,12,15)\quad\cdots$ $\displaystyle (5,12,13)\quad(10,24,26)\quad(15,36,39)\quad\cdots$ $\displaystyle (7,24,25)\quad(14,48,50)\quad(21,72,75)\quad\cdots$ $\displaystyle (a,b,c)$ 가 피타고라스 수이면, $\displaystyle (b,a,c)$ 도 피타고라스 수이고 임의의 자연수 $\displaystyle d$ 에 대하여 $\displaystyle (da)^{2}+(db)^{2}=(dc)^{2}$ 이므로 $\displaystyle (da,db,dc)$ 도 피타고라스 수이다. 따라서 피타고라스 수는 무한히 많이 존재한다. 피타고라스 수 $\displaystyle (a,b,c)$ 중에서 $\displaystyle a, b$ 가 서로소인 피타고라스 수를 원시 피타고라스 수라고 한다. 그렇다면 원시 피타고라스 수의 개수도 역시 무한할까?

(나) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle n^{2}$ 을 4로 나누었을 때의 나머지는 0 또는 1이다.

【물음 2】

(1) “원시 피타고라스 수 $\displaystyle (x,y,z)$ 에 대하여 $\displaystyle y, z$ 는 서로소이다.”를 증명하고자 한다. 아래 증명 과정에서 ㉠을 완성하시오. (15점)

$\displaystyle (x,y,z)$ 는 원시 피타고라스 수이므로 $\displaystyle x, y$ 는 서로소이다. $\displaystyle y, z$ 가 서로소가 아니라고 가정하면, $\displaystyle y$ 와 $\displaystyle z$ 의 공약수인 소수 $\displaystyle p$ 가 존재한다. 그러면 ㉠ . 이것은 $\displaystyle x, y$ 가 서로소인 것과 모순이다. 따라서 $\displaystyle y, z$ 는 서로소이다.

(2) “ $\displaystyle (x,y,z)$ 가 원시 피타고라스 수이면, $\displaystyle x, y$ 중 하나는 홀수이고 다른 하나는 짝수이며 $\displaystyle z$ 는 홀수이다.”를 증명하고자 한다. 아래 증명 과정에서 ㉡을 제시문 (나)에 근거하여 완성하시오. (20점)

$\displaystyle (x,y,z)$ 가 원시 피타고라스 수이면, $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 가 서로소이므로 $\displaystyle x, y$ 모두 짝수일 수는 없다.(i) $\displaystyle x, y$ 중 하나가 홀수이고 다른 하나가 짝수이면, $\displaystyle x^{2}+y^{2}$ 은 홀수가 되고 따라서 $\displaystyle z^{2}$ 은 홀수이다. $\displaystyle z^{2}$ 이 홀수이면 $\displaystyle z$ 는 홀수이다.(ii) $\displaystyle x, y$ 모두 홀수이면, $\displaystyle x^{2}+y^{2}$ 은 짝수가 되고 따라서 $\displaystyle z^{2}$ 은 짝수이다. 그런데 ㉡ . 그러므로 $\displaystyle x, y$ 모두 홀수인 원시 피타고라스 수 $\displaystyle (x,y,z)$ 는 존재하지 않는다.따라서 $\displaystyle (x,y,z)$ 가 원시 피타고라스 수이면, $\displaystyle x, y$ 중 하나는 홀수이고 다른 하나는 짝수이며 $\displaystyle z$ 는 홀수이다.

(3) “두 자연수 $\displaystyle m, n$ 이 서로소이며(단, $\displaystyle m>n$ ) 둘 중 하나가 홀수이고 다른 하나는 짝수일 때, $\displaystyle x=m^{2}-n^{2},\quad y=2mn,\quad z=m^{2}+n^{2}$ 이라고 하면 $\displaystyle (x,y,z)$ 는 원시 피타고라스 수이다.”를 증명하고자 한다. 아래 증명 과정에서 ㉢, ㉣, ㉤을 완성하시오. (35점)

$\displaystyle (x,y,z)$ 는 피타고라스 수이다. 왜냐하면 ㉢ . $\displaystyle x, y$ 가 서로소가 아니라고 가정하면, $\displaystyle x=m^{2}-n^{2}$ 과 $\displaystyle y=2mn$ 의 공약수인 소수 $\displaystyle p$ 가 존재한다. 이때 공약수 $\displaystyle p$ 는 2가 될 수 없다. 왜냐하면 ㉣ . 따라서 $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle mn$ 의 약수이다. 그러면 ㉤ . 이것은 $\displaystyle m, n$ 이 서로소라는 조건과 모순이다. 그러므로 $\displaystyle x, y$ 는 서로소이고 $\displaystyle (x,y,z)$ 는 원시 피타고라스 수이다.

(4) 위의 (3)의 명제에 근거하여 원시 피타고라스 수의 개수가 유한한지 무한한지를 결정하시오. 만약 유한하다면 그 개수를 구하고, 무한하다면 구체적인 예를 들어 그 이유를 설명하시오. (30점)

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Comment. 대학 해설에서 이 답안 예시 표의 머리글이 [물음 4]로 되어 있으나 내용은 [물음 2]의 것이다. 대학이 낸 글자를 고치지 않고 그대로 두었다.

+15점 · (1) ㉠ — 공약수

\displaystyle p

가

\displaystyle x

의 약수임을 이끌어내 모순을 만든다.

㉠ $\displaystyle y=py_{1}$ , $\displaystyle z=pz_{1}$ 라고 놓으면 $\displaystyle x^{2}=z^{2}-y^{2}=p^{2}(z_{1}^{2}-y_{1}^{2})$ 이므로 $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle x^{2}$ 의 약수이다. 따라서 $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle x$ 의 약수이다.

+20점 · (2) ㉡ — 제시문 (나)를 써서 4로 나눈 나머지가 어긋남을 보인다.

㉡ $\displaystyle x, y$ 는 모두 홀수이므로 $\displaystyle x^{2}, y^{2}$ 을 4로 나눈 나머지는 각각 1이고, 따라서 $\displaystyle x^{2}+y^{2}$ 을 4로 나눈 나머지는 2가 되어 짝수인 $\displaystyle z^{2}$ 을 4로 나눈 나머지 0과 일치하지 않는다.

+35점 · (3) ㉢·㉣·㉤ — 피타고라스 수임을 확인하고,

\displaystyle p\ne2

와

\displaystyle p

가

\displaystyle m, n

의 공약수가 됨을 보인다.

㉢ $\displaystyle x^{2}+y^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=(m^{2}+n^{2})^{2}=z^{2}$ 이기 때문이다.㉣ $\displaystyle m, n$ 둘 중 하나는 홀수이고 다른 하나는 짝수이므로 $\displaystyle x=m^{2}-n^{2}$ 은 홀수이다. 따라서 $\displaystyle p=2$ 는 $\displaystyle x$ 의 약수가 될 수 없다.㉤ $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle m$ 의 약수 또는 $\displaystyle n$ 의 약수이다. $\displaystyle p$ 를 $\displaystyle m$ 의 약수라고 하면, $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle x$ 의 약수이므로 또한 $\displaystyle n^{2}=x-m^{2}$ 의 약수가 된다. 따라서 $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle n$ 의 약수가 되고 결국 $\displaystyle m, n$ 의 공약수가 된다.마찬가지로 $\displaystyle p$ 를 $\displaystyle n$ 의 약수라고 하면, $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle m$ 의 약수가 되고 결국 $\displaystyle m, n$ 의 공약수가 된다.

+30점 · (4) 조건에 맞는

\displaystyle (m,n)

을 무한히 취할 수 있음을 예로 들어 무한함을 밝힌다.

무한하다. (3)의 명제의 조건에 맞는 $\displaystyle (m,n)$ 을 무한히 많이 취할 수 있음을 보이면 된다. 예를 들면, 임의의 자연수 $\displaystyle k$ 에 대해 $\displaystyle (m,n)=(2k+1,2)$ .

Note. 대학 해설은 다음과 같이 그 밖의 다양한 예도 가능하다고 덧붙인다. ① 홀수인 소수 $\displaystyle p$ 에 대해 $\displaystyle (m,n)=(p,2)$ ② 자연수 $\displaystyle k$ 에 대해 $\displaystyle (m,n)=(3^{k},2^{k})$ ③ 자연수 $\displaystyle k$ 에 대해 $\displaystyle (m,n)=(5^{k},2^{k})$

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