z = t ( 0 ≤ t ≤ b ) \displaystyle z=t(0 \le t \le b) z = t ( 0 ≤ t ≤ b ) z = 0 \displaystyle z=0 z = 0 z = a \displaystyle z=a z = a t : ( a − t ) \displaystyle t:(a-t) t : ( a − t ) 이 점들은 다음과 같다.
P ( 3 t 4 , t 4 , t ) \displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{3t}{4},\ \frac{t}{4},\ t\right) P ( 4 3 t , 4 t , t ) Q ( t 4 , 3 t 4 , t ) \displaystyle \mathrm{Q}\left(\frac{t}{4},\ \frac{3t}{4},\ t\right) Q ( 4 t , 4 3 t , t ) R ( 3 t 4 + a − t , t 4 + a − t , t ) \displaystyle \mathrm{R}\left(\frac{3t}{4}+a-t,\ \frac{t}{4}+a-t,\ t\right) R ( 4 3 t + a − t , 4 t + a − t , t ) S ( t 4 + a − t , 3 t 4 + a − t , t ) \displaystyle \mathrm{S}\left(\frac{t}{4}+a-t,\ \frac{3t}{4}+a-t,\ t\right) S ( 4 t + a − t , 4 3 t + a − t , t )
그리고 단면을 이루는 네 꼭짓점들의 z \displaystyle z z z \displaystyle z z
P Q → ⋅ P R → = ( − t 2 , t 2 ) ⋅ ( a − t , a − t ) = 0 \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}} = \left(-\frac{t}{2},\ \frac{t}{2}\right) \cdot (a-t,\ a-t) = 0 PQ ⋅ PR = ( − 2 t , 2 t ) ⋅ ( a − t , a − t ) = 0 ∠ Q P R = π 2 \displaystyle \angle \mathrm{QPR} = \frac{\pi}{2} ∠ QPR = 2 π 마찬가지로 단면의 나머지 세 내각도 직각임을 보일 수 있고, 따라서 단면은 직사각형이다. 이 직사각형 변의 길이는 P Q ‾ = R S ‾ = ( − t 2 ) 2 + ( t 2 ) 2 = t 2 \displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{RS}} = \sqrt{\left(-\frac{t}{2}\right)^2 + \left(\frac{t}{2}\right)^2} = \frac{t}{\sqrt{2}} PQ = RS = ( − 2 t ) 2 + ( 2 t ) 2 = 2 t P R ‾ = Q S ‾ = ( a − t ) 2 + ( a − t ) 2 = 2 ( a − t ) \displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = \overline{\mathrm{QS}} = \sqrt{(a-t)^2 + (a-t)^2} = \sqrt{2}\,(a-t) PR = QS = ( a − t ) 2 + ( a − t ) 2 = 2 ( a − t ) 이다. 따라서 높이 z = t \displaystyle z=t z = t t ( a − t ) \displaystyle t(a-t) t ( a − t ) 정적분의 원리에 의하여 원하는 부분의 부피는 다음과 같다.
∫ 0 b t ( a − t ) d t = a t 2 2 − t 3 3 ∣ 0 b = a b 2 2 − b 3 3 \displaystyle \int_{0}^{b} t(a-t)\,dt = \frac{at^2}{2} - \frac{t^3}{3} \bigg|_{0}^{b} = \frac{ab^2}{2} - \frac{b^3}{3} ∫ 0 b t ( a − t ) d t = 2 a t 2 − 3 t 3 0 b = 2 a b 2 − 3 b 3
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.