자연계열 4번

(a) 확률변수 $\displaystyle X$가 $\displaystyle 1$인 경우는 다음과 같이 나뉜다.

(i) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표가 $\displaystyle k\ (k=1,\,\cdots,\,n-2)$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표가 $\displaystyle (k+1)$이고 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표가 $\displaystyle (k+2),\,\cdots,\,n$ 중 하나이거나,점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표가 $\displaystyle (k+1)$이고 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표가 $\displaystyle (k+2),\,\cdots,\,n$ 중 하나인 경우이며,이에 해당하는 경우의 수는 $\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n-2}(n-k-1)=(n-1)(n-2)$이다.

(ii) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표가 $\displaystyle k\ (k=3,\,\cdots,\,n)$일 때도 대칭적으로 경우의 수는 $\displaystyle 2\sum_{k=3}^{n}(k-2)=(n-1)(n-2)$이다.

따라서 $\displaystyle X=1$인 경우의 수는 $\displaystyle 2(n-1)(n-2)$이고,$\displaystyle n$개의 점에서 서로 다른 세 점을 순서대로 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{3}=n(n-1)(n-2)$이므로,$\displaystyle X=1$일 확률은 $\displaystyle \frac{2(n-1)(n-2)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{2}{n}$이다.

(b) 확률변수 $\displaystyle X$가 $\displaystyle (n-1)$ 또는 $\displaystyle n$일 확률은 $\displaystyle 0$이다.$\displaystyle X=k\ (k=1,\,\cdots,\,n-2)$인 경우도 (a)와 같은 방식으로 나누어 세면, 해당하는 경우의 수는 $\displaystyle 2(n-k)(n-k-1)$이다.

따라서 $\displaystyle X$의 평균은

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-2}\left[k\times\frac{2(n-k)(n-k-1)}{n(n-1)(n-2)}\right]=\frac{2}{n(n-1)(n-2)}\sum_{k=1}^{n-2}\left[k^{3}-(2n-1)k^{2}+n(n-1)k\right]$

$\displaystyle {}=\frac{2}{n(n-1)(n-2)}\times\frac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{12}=\frac{n+1}{6}$ 이다.