자연계열 4번

(a) 선택된 네 수를 $\displaystyle a<b<c<d$라 하자. 이 선택이 균형 선택이려면 $\displaystyle a+d=b+c$이어야 한다.이때 $\displaystyle b-a=d-c=l$이라 하면 네 수는 $\displaystyle a,\,a+l,\,c,\,c+l$이므로, $\displaystyle a+l<c$, $\displaystyle c+l\leq n$이다.즉, $\displaystyle 1\leq a<c-l\leq n-2l$이다.이 경우는 $\displaystyle 1,\,2,\,\cdots,\,(n-2l)$ 중에서 서로 다른 두 수를 골라 작은 수를 $\displaystyle a$로, 큰 수를 $\displaystyle (c-l)$로 정한 경우와 같다.따라서 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n-2l}\mathrm{C}_{2}$이다. (단, $\displaystyle n-2l\geq 2$이다.)

(i) $\displaystyle n=2k$($\displaystyle k$는 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수)인 경우, 균형 선택의 개수는$\displaystyle \sum_{l=1}^{k-1}{}_{2k-2l}\mathrm{C}_{2}=\sum_{j=1}^{k-1}{}_{2j}\mathrm{C}_{2}=\sum_{j=1}^{k-1}j(2j-1)=\dfrac{(k-1)k(4k-5)}{6}$이다. 전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_{2k}\mathrm{C}_{4}$이므로, 균형 선택일 확률은$\displaystyle \dfrac{(k-1)k(4k-5)/6}{{}_{2k}\mathrm{C}_{4}}=\dfrac{4k-5}{(2k-1)(2k-3)}=\dfrac{2n-5}{(n-1)(n-3)}$이다.

(ii) $\displaystyle n=2k+1$($\displaystyle k$는 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수)인 경우, 균형 선택의 개수는$\displaystyle \sum_{l=1}^{k-1}{}_{2k+1-2l}\mathrm{C}_{2}=\sum_{j=1}^{k-1}{}_{2j+1}\mathrm{C}_{2}=\sum_{j=1}^{k-1}j(2j+1)=\dfrac{(k-1)k(4k+1)}{6}$이다. 전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_{2k+1}\mathrm{C}_{4}$이므로, 균형 선택일 확률은$\displaystyle \dfrac{(k-1)k(4k+1)/6}{{}_{2k+1}\mathrm{C}_{4}}=\dfrac{4k+1}{(2k+1)(2k-1)}=\dfrac{2n-1}{n(n-2)}$이다.

(b) 문제의 조건은 $\displaystyle c=b+1$이므로, 균형 선택인 네 수는 $\displaystyle a,\,a+l,\,a+l+1,\,a+2l+1$이다.$\displaystyle 1\leq a<a+2l+1\leq n$이므로, $\displaystyle 1\leq a\leq n-2l-1$이다. 따라서 가능한 경우의 수는 $\displaystyle (n-2l-1)$이다. (단, $\displaystyle n-2l-1\geq 1$이다.)

(i) $\displaystyle n=2k$($\displaystyle k$는 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수)인 경우, $\displaystyle c=b+1$인 균형 선택의 개수는 $\displaystyle \sum_{l=1}^{k-1}(2k-2l-1)=(k-1)^{2}$이다. 따라서 구하는 확률은$\displaystyle \dfrac{(k-1)^{2}}{(k-1)k(4k-5)/6}=\dfrac{6(k-1)}{k(4k-5)}=\dfrac{6(n-2)}{n(2n-5)}$이다.

(ii) $\displaystyle n=2k+1$($\displaystyle k$는 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수)인 경우, $\displaystyle c=b+1$인 균형 선택의 개수는 $\displaystyle \sum_{l=1}^{k-1}(2k-2l)=k(k-1)$이다. 따라서 구하는 확률은$\displaystyle \dfrac{k(k-1)}{(k-1)k(4k+1)/6}=\dfrac{6}{4k+1}=\dfrac{6}{2n-1}$이다.