성균관대 2011학년도 수시 자연1 자연계열 1번 해설

문제

[문제 1] 다음 <제시문 1-1>을 읽고 [문제 1-i]와 [문제 1-ii]를 풀이와 함께 답하시오.

<제시문 1-1> 세 종류의 물질 $\displaystyle a,b,c$ 의 농도는 시간에 따라 변한다. 시간 $\displaystyle t$ 에서 물질 $\displaystyle a,b,c$ 의 농도를 각각 $\displaystyle A(t), B(t), C(t)$ 라 할 때 초기의 농도는 각각 $\displaystyle A(0)=10$ , $\displaystyle B(0)=20$ , $\displaystyle C(0)=30$ 이다. 세 물질이 반응을 시작하여 $\displaystyle n$ 초 후 농도와 $\displaystyle n+1$ 초 후 농도는 다음 관계식을 만족한다. $\displaystyle A(n+1)=(1-K_{ab}-K_{ac})A(n)+K_{ab}B(n)+K_{ac}C(n)$ $\displaystyle B(n+1)=K_{ab}A(n)+(1-K_{ab}-K_{bc})B(n)+K_{bc}C(n)$ $\displaystyle C(n+1)=K_{ac}A(n)+K_{bc}B(n)+(1-K_{ac}-K_{bc})C(n)$ 여기서 $\displaystyle K_{ab}, K_{ac}, K_{bc}$ 는 양의 상수이고, $\displaystyle n$ 은 0보다 크거나 같은 정수이다.

[문제 1-i] 물질 $\displaystyle a,b,c$ 농도의 합은 시간에 관계없이 항상 일정함을 보이고, 그 값을 구하시오.

[문제 1-ii] $\displaystyle K_{ab}=\frac{1}{2}$ 이고 $\displaystyle K_{ac}=K_{bc}=\frac{1}{6}$ 이라고 하자. 시간 $\displaystyle t=2011$ 초에서 물질 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 농도의 합 $\displaystyle A(2011)+B(2011)$ 를 구하시오. 또한 $\displaystyle n$ 이 한없이 커질 때 물질 $\displaystyle c$ 의 농도 $\displaystyle C(n)$ 이 어떤 값으로 수렴하는지 구하시오.

[문제 1-i] 주어진 관계식의 좌변과 우변을 각각 더하면 $\displaystyle A(n)+B(n)+C(n)=A(n-1)+B(n-1)+C(n-1)$ 임을 알 수 있다. 그러므로 $\displaystyle t=n$ 에 상관없이 $\displaystyle A(n)+B(n)+C(n)=A(0)+B(0)+C(0)=60$ 임을 알 수 있다.

[문제 1-ii] 주어진 상수 값들을 대입하고 (문제 1-i) 결과를 이용하여 $\displaystyle C(n)=60-A(n)-B(n)$ 을 대입하여 다음 식을 얻는다. $\displaystyle \begin{aligned} A(n+1) &= \frac{1}{3}A(n)+\frac{1}{2}B(n)+\frac{1}{6}C(n)=\frac{1}{6}A(n)+\frac{1}{3}B(n)+10, \\ B(n+1) &= \frac{1}{2}A(n)+\frac{1}{3}B(n)+\frac{1}{6}C(n)=\frac{1}{3}A(n)+\frac{1}{6}B(n)+10. \end{aligned}$ 양변을 더하면 $\displaystyle A(n+1)+B(n+1)=\frac{1}{2}A(n)+\frac{1}{2}B(n)+20$ 을 얻게 된다.

편의상 $\displaystyle \beta(n):=A(n)+B(n)$ 으로 표기하면 $\displaystyle \beta(n+1)=\frac{1}{2}\beta(n)+20$ , $\displaystyle \beta(0)=30$ 이다.그러면 $\displaystyle \beta(n+1)-40=\frac{1}{2}(\beta(n)-40)$ 이 되므로 $\displaystyle \beta(n)=-10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+40$ 이다. $\displaystyle n=2011$ 일때의 값을 구하는 것이므로 $\displaystyle A(2011)+B(2011)=-10\left(\frac{1}{2}\right)^{2011}+40$ 이 구하고자 하는 답이다.

한편 $\displaystyle C(n)=60-A(n)-B(n)$ 이고 $\displaystyle A(n)+B(n)$ 은 $\displaystyle n$ 이 무한으로 가면 40으로 수렴하므로 20으로 수렴하게 됨을 알 수 있다.

Note. 출제의도. 무한수열에 대한 이론은 수학적 문제를 해결할 뿐만 아니라 실생활에도 적용할 수 있는 유용한 개념으로써 이에 대한 기본 원리를 잘 이해하고 있는지에 대하여 수학1 교과과정 수준에서 질문하고자 하였다.

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