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자연계열 2번

배점12점
예상 소요 시간25분

문제

[문제 2]

방정식 x1+x2+x3=5\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=5를 만족시키는 양의 정수해를 <표 1>과 같이 나타냈을 때, 숫자 2가 나오는 횟수는 6이다. 자연수 n\displaystyle n에 대하여 방정식 x1+x2+⋯+xk=n\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}=n을 만족시키는 양의 정수해를 <표 2>와 같이 나열하였을 때, 자연수 r (1≤r≤n−k+1)\displaystyle r\,(1\le r\le n-k+1)이 나오는 횟수를 n,k,r\displaystyle n, k, r를 이용하여 나타내시오. (단, k\displaystyle k는 2≤k≤n\displaystyle 2\le k\le n인 자연수이다.) [12점]

x1·x2·x3의 세 열에 (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3), (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2)의 여섯 해를 적고 값이 2인 칸을 회색으로 칠한 표
<표 1>
x1, x2, x3, …, xk를 열로 두고 내용은 비어 있는 표
<표 2>

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+12점 · 한 자리를 r\displaystyle r로 고정하면 나머지가 x2+⋯+xk=n−r\displaystyle x_{2}+\cdots+x_{k}=n-r의 양의 정수해와 일대일 대응함을 밝히고, 각 자리에 대해 같은 개수가 나오므로 k\displaystyle k를 곱해 k×n−r−1Ck−2\displaystyle k\times{}_{n-r-1}\mathrm{C}_{k-2}를 구한다.

x1=r\displaystyle x_{1}=r이 되는 양의 정수해의 개수는 x2+x3+⋯+xk=n−r\displaystyle x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{k}=n-r를 만족하는 양의 정수해의 개수이다.x2′=x2−1\displaystyle x_{2}^{\prime}=x_{2}-1, x3′=x3−1\displaystyle x_{3}^{\prime}=x_{3}-1, ⋯\displaystyle \cdots, xk′=xk−1\displaystyle x_{k}^{\prime}=x_{k}-1이라 하면x2′+x3′+⋯+xk′=n−r−k+1\displaystyle x_{2}^{\prime}+x_{3}^{\prime}+\cdots+x_{k}^{\prime}=n-r-k+1이고 이 방정식의 해의 개수는 k−1Hn−r−k+1\displaystyle {}_{k-1}\mathrm{H}_{n-r-k+1}이다.따라서, x1\displaystyle x_{1} 중 r\displaystyle r이 나오는 횟수는 k−1Hn−r−k+1\displaystyle {}_{k-1}\mathrm{H}_{n-r-k+1}이다.이는 x2,x3,⋯ ,xk\displaystyle x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{k}의 경우에도 마찬가지이므로 자연수 r\displaystyle r이 나오는 횟수는 다음과 같다.k×k−1Hn−r−k+1=k×n−r−1Cn−r−k+1=k×n−r−1Ck−2=k×(n−r−1)!(k−2)!(n−r−k+1)!\displaystyle k\times{}_{k-1}\mathrm{H}_{n-r-k+1}=k\times{}_{n-r-1}\mathrm{C}_{n-r-k+1}=k\times{}_{n-r-1}\mathrm{C}_{k-2}=\frac{k\times(n-r-1)!}{(k-2)!(n-r-k+1)!}

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