자연계열 4번

수학에서 기호의 사용은 매우 중요하다. 복잡한 이론을 유도하는데 수학의 기호를 사용하는 것은 문제를 간결하고 명확하게 분석하는데 효과적일뿐만 아니라 그 내용을 왜곡됨이 없이 정확히 전달할 수 있기 때문이다.

많은 수학 기호 중에 $\displaystyle n$개의 수열 $\displaystyle a_1 ,a_2 ,a_3 ,\ldots$들의 합을 의미하는 합의 기호 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i$는 자주 사용된다. $\displaystyle a_i$의 $\displaystyle i$는 수열 $\displaystyle a_1 ,a_2 ,a_3 ,\ldots$에서 개개의 수를 구분하는 색인이다. 예를 들어 $\displaystyle \sum_{i=1}^{4} a_{2i+1}$은 $\displaystyle a_3 ,a_5 ,a_7 ,a_9$ 네 개의 수들의 합을 의미한다. 이 경우 $\displaystyle a_3 ,a_5 ,a_7 ,a_9$들의 색인은 3, 5, 7, 9로 2개씩 차이가 나는 일련의 또 다른 수열이 됨을 알 수 있다. 만일 이렇게 색인들 간의 차가 등간격이 아닌 경우는 $\displaystyle \sum_{i\in I}a_i$로 그 합을 표시할 수 있다. 여기서 $\displaystyle I$는 색인들의 집합을 의미한다. 가령 색인들의 집합을 $\displaystyle I=\{1,7,9,10\}$로 정의한다면 $\displaystyle \sum_{i\in I}a_i$는 $\displaystyle a_1 , a_7 , a_9 , a_{10}$의 합을 의미한다.

$\displaystyle a_1 ,a_2 ,a_3 ,\ldots$외에 또 다른 수열 $\displaystyle b_1 ,b_2 ,b_3 ,\ldots$이 있는 경우를 생각해 보자. 두 가지 이상의 수열이 있는 경우 이들 간의 다양한 형태의 합을 계산하기 위해 합의 공식이 사용될 수 있다. $\displaystyle \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} (a_i +b_j )$은 $\displaystyle a_1 +b_1 ,~a_1 +b_2 ,~a_1 +b_3 ,~a_2 +b_1 ,~a_2 +b_2 ,~a_2 +b_3$들의 합을 나타낸다. 물론 합의 기호의 성질을 이용하면 $\displaystyle \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} (a_i +b_j )$을 $\displaystyle 3(a_1 +a_2 )+$$\displaystyle 2(b_1 +b_2 +b _3 )$으로도 표현할 수 있다.

좀 더 복잡한 예를 생각해 보자. $\displaystyle \sum_{i=1}^{10} a_i (i+1) +\sum_{j=1}^{10} (b_{2j-1} +b_{2j} )(11-j)$는 다음과 같은 수들의 합을 구하는데 사용될 수 있다.Correction. 합을 나타내는 식에서 $\displaystyle a_i(i+1)$은 $\displaystyle 2ia_i$의 오기이다. 나열된 $\displaystyle i$번째 줄에는 $\displaystyle a_i$가 $\displaystyle 2i$번 나타난다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}a_1 +b_1 ,~a_1 +b_2 ,\\a_2 +b_1 ,~a_2 +b_2 ,~a_2 +b_3 ,~a_2 +b_4 ,\\ a_3 +b_1 ,~a_3 +b_2 ,~a_3 +b_3 ,~a_3 +b_4 ,~a_3 +b_5 ,~a_3 +b_6\\ \vdots\\ a_{10} +b_1 ,~a_{10} +b_2 ,~a_{10} +b_3 ,~a_{10} +b_4 ,~a_{10} +b_5 ,~a_{10} +b_6 ,~\ldots,~a_{10} +b_{20}\end{aligned}$재미있는 사실은 위와 같이 수들을 나열하여 봄으로써 그 합은 다소 복잡해 보이는 $\displaystyle \sum_{i=1}^{10} a_i (i+1) +\sum_{j=1}^{10} (b_{2j-1} +b_{2j} )(11-j)$가 실은 $\displaystyle \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=i}^{2i} (a_i +b_j )$으로도 표현될 수 있다는 점이다. 마치 똑같은 내용이 기술하는 사람에 따라 다양하게 표현되듯이 수학의 기호를 통한 표현도 다양함을 알 수 있다. 물론 위 예의 경우는 $\displaystyle \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=i}^{2i} (a_i +b_j )$이 그 수식의 목적을 전달하는 데는 $\displaystyle \sum_{i=1}^{10} a_i (i+1) +\sum_{j=1}^{10} (b_{2j-1} +b_{2j} )(11-j)$보다 더 간결하고 효과적임을 알 수 있다.Correction. 합을 나타내는 식에서 $\displaystyle a_i(i+1)$은 $\displaystyle 2ia_i$의 오기이다. 나열된 $\displaystyle i$번째 줄에는 $\displaystyle a_i$가 $\displaystyle 2i$번 나타난다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 안쪽 합의 아래 첨자 $\displaystyle j=i$는 $\displaystyle j=1$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.