자연계열 2번

고대 그리스에서는 작도의 문제, 즉 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 가지고 원하는 기하학적 대상을 만들 수 있는가에 대한 연구가 유행하였다. 많은 사람들의 노력으로 매우 다양한 기하학적 대상들의 작도가 가능하게 되었지만, 일견 단순해 보이는 몇 가지 문제의 해답이 오랜 기간 알려지지 않았다. 임의의 각의 3등분 문제를 포함한, 소위 3대 작도 불능 문제들은 근대에 와서야 그 불가능함이 수학적으로 엄밀하게 증명되었다.

임의의 각의 3등분 문제에 대해 다음과 같은 접근을 하였다. 주어진 각 $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}$에 대하여, 먼저 임의로 각 내부에 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$을 잡는다. 그 다음, 각 $\displaystyle \angle\mathrm{A}_1\mathrm{OB}$를 이등분하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}_1}$를 작도한다. 다시 각 $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}_1$를 이등분하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$를 작도한 후, 각 $\displaystyle \angle\mathrm{A}_2\mathrm{OB}$를 이등분하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}_2}$를 작도한다. 또다시 각 $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}_2$를 이등분하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_3}$를 작도한다. 이런 식으로 계속하여 무한이 많은 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$과 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$을 얻었다.