자연계열 1번

a) 호 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{C}_1$은 중심이 $\displaystyle (0,0)$이고 반지름이 $\displaystyle \sqrt2a$인 원이 제 1사분면에 그려진 곡선으로, 호 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{C}_1$의 식은 다음과 같다.$\displaystyle x^2+y^2=2a^2\quad x>0,\ y>0.\quad\text{---}(1)$호 $\displaystyle \mathrm{OB}_1$는 중심이 $\displaystyle (\sqrt2a,0)$이고 반지름이 $\displaystyle \sqrt2a$인 원이 제 1사분면에 그려진 곡선으로, 호 $\displaystyle \mathrm{OB}_1$의 식은 다음과 같다.$\displaystyle (x-\sqrt2a)^2+y^2=2a^2\quad x>0,\ y>0.\quad\text{----}(2)$

b) 호 $\displaystyle \mathrm{OB}_1$와 호 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{C}_1$의 교점 $\displaystyle \mathrm{D}_1$의 $\displaystyle x$좌표는 식 (1)과 (2)로부터 다음의 방정식을 만족한다.$\displaystyle (x-\sqrt2a)^2=x^2\quad\text{---}(3)$위의 식 $\displaystyle x^2-2\sqrt2ax+2a^2=x^2$을 만족하는 $\displaystyle x$값은$\displaystyle x=\frac1{\sqrt2}a=\frac{\sqrt2}{2}a$가 되고, 식 (2)로부터 $\displaystyle x=\frac1{\sqrt2}a=\frac{\sqrt2}{2}a$일 때 $\displaystyle \left(\frac1{\sqrt2}a\right)^2+y^2=2a^2$을 만족하는 $\displaystyle y$값은$\displaystyle y=\sqrt{\frac32a^2}=\sqrt{\frac32}a=\frac{\sqrt6}{2}a\quad(\because y>0)$이므로, 교점 $\displaystyle \mathrm{D}_1$의 좌표는 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{D}_1\left(\frac{\sqrt2}{2}a,\frac{\sqrt6}{2}a\right)\quad\text{---}(4)$

c) $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}_1}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{(\sqrt2a)^2+(\sqrt2a)^2}=2a$이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 2a$인 정사각형이다. 정사각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2$ 내부에 만들어지는 호 $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{C}_2$는 중심이 $\displaystyle (0,0)$이고 반지름이 $\displaystyle 2a$인 원이 제1사분면에 그려진 곡선으로, 호 $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{C}_2$의 식은 다음과 같다.$\displaystyle x^2+y^2=4a^2\quad x>0,\ y>0.\quad\text{---}(5)$호 $\displaystyle \mathrm{OB}_2$는 중심이 $\displaystyle (2a,0)$이고 반지름이 $\displaystyle 2a$인 원이 제1사분면에 그려진 곡선이므로 호 $\displaystyle \mathrm{OB}_2$의 식은 다음과 같다.$\displaystyle (x-2a)^2+y^2=4a^2\quad x>0,\ y>0.\quad\text{----}(6)$b)의 풀이와 유사한 방법으로 호 $\displaystyle \mathrm{OB}_2$와 호 $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{C}_2$의 교점 $\displaystyle \mathrm{D}_2$의 $\displaystyle x$좌표는 식(5)와 (6)으로부터 다음을 만족한다.$\displaystyle (x-2a)^2=x^2\quad\text{---}(7)$식(7), 즉 $\displaystyle x^2-4ax+a^2=x^2$을 만족하는 $\displaystyle x$값은Correction. 식(7)을 전개하면 $\displaystyle x^2-4ax+4a^2=x^2$이므로 상수항 $\displaystyle a^2$는 $\displaystyle 4a^2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle x=a$이고, 식(5)로부터 $\displaystyle x=a$일 때 $\displaystyle a^2+y^2=4a^2$을 만족하는 $\displaystyle y$값은$\displaystyle y=\sqrt3a\quad(\because y>0)$이므로, 교점 $\displaystyle \mathrm{D}_2$의 좌표는 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{D}_2(a,\sqrt3a)\quad\text{---}(8)$

a) 닮음비를 고려하여 교점 $\displaystyle \mathrm{D}_1$, $\displaystyle \mathrm{D}_2$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x_1=\frac1{\sqrt2}a$, $\displaystyle x_2=a$이고, 이는 첫 항이 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}a$이고 공비가 $\displaystyle \sqrt2$인 등비수열을 만족한다. $\displaystyle x$좌표의 $\displaystyle n$번째 항(일반항)은 다음과 같다.$\displaystyle x_n=\frac1{\sqrt2}a(\sqrt2)^{n-1}=\frac{\sqrt2}{2}a(\sqrt2)^{n-1}=\frac{(\sqrt2)^n}{2}a.$$\displaystyle x$좌표와 마찬가지로 교점 $\displaystyle \mathrm{D}_1$, $\displaystyle \mathrm{D}_2$의 $\displaystyle y$좌표는 각각 $\displaystyle y_1=\frac{\sqrt6}{2}a$, $\displaystyle y_2=\sqrt3a$이고, 이는 첫 항이 $\displaystyle \frac{\sqrt6}{2}a$이고 공비가 $\displaystyle \sqrt2$인 등비수열을 만족한다. $\displaystyle y$좌표의 $\displaystyle n$번째 항(일반항)은 다음과 같다.$\displaystyle y_n=\frac{\sqrt6}{2}a(\sqrt2)^{n-1}=\frac{\sqrt3}{2}(\sqrt2)^na.$그러므로 점 $\displaystyle \mathrm{D}_n$의 좌표는 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{D}_n\left(\frac{(\sqrt2)^n}{2}a,\frac{\sqrt3}{2}(\sqrt2)^na\right)\quad\text{---}(9)$

a)<<풀이1>>곡선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}{64a^2}x^3$이 점 $\displaystyle \mathrm{D}_n$을 지나는 $\displaystyle n$의 값은 다음 방정식을 풀면 구할 수 있다.$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}(\sqrt2)^na=\frac{\sqrt3}{64a^2}\left(\frac{(\sqrt2)^n}{2}a\right)^3\quad\text{---}(10)$즉,$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}(\sqrt2)^na=\frac{\sqrt3}{64a^2}\frac{(\sqrt2)^{3n}}{2^3}a^3$이로부터$\displaystyle (\sqrt2)^{2n}=\frac{\sqrt3}{2}a\frac{64a^2}{\sqrt3}\frac1{a^3}2^3=64\times2^2=2^8$이 되므로$\displaystyle (\sqrt2)^{2n}=2^n=2^8$을 만족한다. 그러므로$\displaystyle n=8\quad\text{---}(11)$이다.

a) <그림1>에서 호 $\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$과 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축, 그리고 교점 $\displaystyle \mathrm{D}_1$에서 $\displaystyle x$축에 수직으로 내린 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle S$라 하자. 제시문(5)을 활용하면 넓이 $\displaystyle S$는 식(1)로부터 구한 다음의 식(12)를 $\displaystyle x$의 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\sqrt2}{2}a\right]$에서 정적분한 값이 된다.$\displaystyle y=\sqrt{2a^2-x^2}\quad(\because y\ge0)\quad\text{---}(12)$즉, 구하는 넓이는$\displaystyle S=\int_0^{\frac{\sqrt2}{2}a}\sqrt{2a^2-x^2}\,dx\quad\text{---}(13)$이다.

a) 제시문(5)을 활용하여 정적분을 위해 $\displaystyle x=\sqrt2a\sin\theta$로 치환하면, $\displaystyle x$의 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\sqrt2}{2}a\right]$에 대하여 $\displaystyle \theta$의 구간은 $\displaystyle \left[0,\frac\pi6\right]$이 되고 $\displaystyle dx=\sqrt2a\cos\theta\,d\theta$이고, $\displaystyle \theta$의 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi6\right]$에서 $\displaystyle \cos\theta\ge0$을 만족하므로Correction. “제시문(5)”는 치환적분법을 제시한 “제시문(2)”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^{\frac{\sqrt2}{2}a}\sqrt{2a^2-x^2}\,dx\\&=\int_0^{\frac\pi6}\sqrt{2a^2-(\sqrt2a\sin\theta)^2}\sqrt2a\cos\theta\,d\theta\\&=\int_0^{\frac\pi6}\sqrt2a\sqrt{(1-\sin^2\theta)}\sqrt2a\cos\theta\,d\theta\\&=2a^2\int_0^{\frac\pi6}\cos^2\theta\,d\theta\end{aligned}\quad\text{---}(14)$이다.

b) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여$\displaystyle \cos(2\theta)=\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\times\cos\theta-\sin\theta\times\sin\theta=\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)=2\cos^2-1$Correction. 마지막 $\displaystyle 2\cos^2-1$에는 $\displaystyle \theta$가 빠져 있으며 $\displaystyle 2\cos^2\theta-1$을 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.로부터$\displaystyle \cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}2\quad\text{---}(16)$을 구한다.

식(14)로부터 <그림1>에서 호 $\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$과 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축, 그리고 교점 $\displaystyle \mathrm{D}_1$에서 $\displaystyle x$축에 수직으로 내린 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle \begin{aligned}S&=2a^2\int_0^{\frac\pi6}\cos^2\theta\,d\theta=a^2\int_0^{\frac\pi6}(1+\cos(2\theta))\,d\theta\\&=a^2\Biggl[\theta+\frac12\sin(2\theta)\Biggr]_0^{\frac\pi6}=a^2\left(\frac\pi6+\frac12\sin\frac\pi3\right)\\&=a^2\left(\frac\pi6+\frac{\sqrt3}4\right)\end{aligned}\quad\text{---}(18)$