자연계열 1번

[문제1-1]두 점 $\displaystyle (a,a^2-1)$과 $\displaystyle (b,b^2-1)$을 잇는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=(a+b)x-ab-1$이다.$\displaystyle \begin{aligned}S(a,b)&=\int_a^b\{(a+b)x-ab-1-(x^2-1)\}dx\\&=\int_a^b\{-x^2+(a+b)x-ab\}dx\\&=\frac{(b-a)^3}{6}\end{aligned}$이다.

[문제1-2][문제1-1]의 결과에 의해$\displaystyle S(a,c)=\frac{(c-a)^3}{6},\quad S(c,b)=\frac{(b-c)^3}{6}$이다.이제 $\displaystyle (c-a)^3=(b-c)^3$, $\displaystyle a<c<b$인 상수 $\displaystyle c$를 구하면$\displaystyle c-a=b-c$즉, $\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$이다.

$\displaystyle g(x)=x^2-1$이라고 하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=2x$이고$\displaystyle g^{\prime}(c)=2\left(\frac{a+b}{2}\right)=a+b$이다. 따라서 곡선 위의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle a+b$이다.두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$를 잇는 직선의 기울기도 $\displaystyle a+b$이므로, 이 직선의 기울기와 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 접선의 기울기가 같다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서의 접선과 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$는 서로 평행하다.

[문제1-3]닫힌구간 $\displaystyle [-1,2]$에서$\displaystyle S(-1,x)=\frac{(x+1)^3}{6},\ S(x,2)=\frac{(2-x)^3}{6}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=2S(-1,x)+\sqrt[3]{6S(x,2)}\\&=\frac13(x+1)^3+(2-x)\end{aligned}$이고$\displaystyle f^{\prime}(x)=(x+1)^2-1=x(x+2)$$\displaystyle f^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow x=-2\text{ 또는 }x=0$

닫힌구간 $\displaystyle [-1,2]$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 닫힌구간 $\displaystyle [-1,2]$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 최솟값을 갖고, 최솟값은$\displaystyle f(0)=\frac73$이다.