자연계열 2번

$\displaystyle \mathrm{P}=(2,1)$이므로 $\displaystyle \mathrm{Q_1}=(2,0)$이다. 직선 $\displaystyle \mathrm{OP}$의 기울기가 $\displaystyle \frac12$이므로 직선 $\displaystyle \mathrm{P_1Q_1}$은 기울기가 $\displaystyle -2$이고 $\displaystyle (2,0)$을 지난다. 따라서 $\displaystyle y=-2(x-2)$. 즉$\displaystyle y=-2x+4\qquad(1)$이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{OP}$의 식은 $\displaystyle y=\frac12x$이다. 이 두 직선의 교점은 $\displaystyle -2x+4=\frac12x$이다. 따라서$\displaystyle x=\frac85$, $\displaystyle y=\frac45\qquad(2)$이다. 즉 $\displaystyle \mathrm{P_1}=\left(\frac85,\frac45\right)$이고, $\displaystyle \mathrm{Q_2}=\left(\frac85,0\right)$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{P_1Q_2Q_1}$의 넓이 $\displaystyle A_2$는$\displaystyle A_2=\frac12\times\overline{\mathrm{P_1Q_2}}\times\overline{\mathrm{Q_2Q_1}}=\frac12\times\frac45\times\left(2-\frac85\right)=\frac4{25}\qquad(3)$이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{OP}$에 수직인 직선 $\displaystyle \mathrm{P_2Q_2}$, $\displaystyle \mathrm{P_3Q_3}$, $\displaystyle \mathrm{P_4Q_4}$, $\displaystyle \cdots$의 기울기도 $\displaystyle -2$이다. $\displaystyle \mathrm{Q_2}=\left(\frac85,0\right)$이므로 직선 $\displaystyle \mathrm{P_2Q_2}$의 식은 $\displaystyle y=-2\left(x-\frac85\right)$이다. 즉,$\displaystyle y=-2x+\frac{16}{5}\qquad(4)$이다.이 직선이 직선 $\displaystyle \mathrm{OP}$와 만나는 점은 $\displaystyle -2x+\frac{16}5=\frac12x$이다. 따라서 $\displaystyle x=\frac{32}{25}$, $\displaystyle y=\frac{16}{25}$이다. 즉$\displaystyle \mathrm{P_2}=\left(\frac{32}{25},\frac{16}{25}\right)$, $\displaystyle \mathrm{Q_3}=\left(\frac{32}{25},0\right)\qquad(5)$이다.

$\displaystyle x_1=\frac85$, $\displaystyle x_2=\frac{32}{25}$이므로 $\displaystyle x_k$는 공비가 $\displaystyle \frac45$인 등비수열임을 유추할 수 있다. 즉 $\displaystyle n\ge1$일 때

$\displaystyle x_n=\frac85\times\left(\frac45\right)^{n-1}\qquad(6)$이다.

이제 수학적 귀납법을 이용하여 이 사실을 증명하자.(ⅰ) $\displaystyle k=1$일 때 $\displaystyle x_1=\frac85$임을 (1)에서 보였다.

(ⅱ) $\displaystyle k\ge2$일 때, $\displaystyle x_k=\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-1}$이라고 하고 $\displaystyle x_{k+1}=\frac85\times\left(\frac45\right)^k$임을 보이자.

$\displaystyle \mathrm{Q}_{k+1}=\left(\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-1},0\right)$이므로$\displaystyle \mathrm{P}_{k+1},\mathrm{Q}_{k+1}$을 지나는 직선의 식은 $\displaystyle y=-2\left\{x-\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-1}\right\}$이다. 즉,$\displaystyle y=-2x+2\times\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-1}\qquad(7)$이다.이 직선과 $\displaystyle y=\frac12x$가 만나는 점은 $\displaystyle -2x+2\times\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-1}=\frac12x$이다. 따라서 $\displaystyle \frac52x=2\times\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-1}$이고$\displaystyle x=\frac85\times\frac45\times\left(\frac45\right)^{k-1}=\frac85\times\left(\frac45\right)^k\qquad(8)$이다. 즉$\displaystyle x_n=\frac85\times\left(\frac45\right)^k\qquad(9)$Correction. 식 (9)의 “$\displaystyle x_n$”은 “$\displaystyle x_{k+1}$”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.그러므로, (ⅰ), (ⅱ)에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle x_n=\frac85\times\left(\frac45\right)^{n-1}$이 성립한다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQ_1Q}$의 넓이 $\displaystyle A_1$은$\displaystyle A_1=\frac12\times\frac2{11}\times1=\frac1{11}\qquad(18)$이다.

$\displaystyle k\ge1$일 때$\displaystyle \mathrm{P}_k=\left(\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-1},\frac45\times\left(\frac45\right)^{k-1}\right)$, $\displaystyle \mathrm{Q}_{k+1}=\left(\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-1},0\right)\qquad(19)$이다. $\displaystyle k\ge2$일 때 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_{k-1}\mathrm{Q}_k\mathrm{Q}_{k-1}$의 넓이 $\displaystyle A_k$는$\displaystyle \begin{aligned}A_k&=\frac12\times\overline{\mathrm{P}_{k-1}\mathrm{Q}_k}\times\overline{\mathrm{Q}_k\mathrm{Q}_{k-1}}\\&=\frac12\times\frac45\times\left(\frac45\right)^{k-2}\times\left\{\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-3}-\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-2}\right\}\\&=\frac12\times\frac45\times\left(\frac45\right)^{k-2}\times\frac85\times\left(\frac45\right)^{k-3}\times\left(1-\frac45\right)\\&=\frac{2^{4k-6}}{5^{2k-2}}\end{aligned}\qquad(20)$

이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n A_k&=A_1+\sum_{k=2}^n A_k\\&=\frac1{11}+\frac4{25}\times\frac{1-\left(\frac{16}{25}\right)^{n-1}}{1-\left(\frac{16}{25}\right)}\\&=\frac1{11}+\frac49\left\{1-\left(\frac{16}{25}\right)^{n-1}\right\}\\&>\frac5{11}\end{aligned}\qquad(21)$

이므로$\displaystyle 1-\left(\frac{16}{25}\right)^{n-1}>\frac4{11}\times\frac94=\frac9{11}\qquad(22)$이다. 즉$\displaystyle \left(\frac{16}{25}\right)^{n-1}<\frac2{11}\approx0.18\qquad(23)$

인 $\displaystyle n$의 최솟값을 구하면 된다.$\displaystyle \begin{aligned}n=2,&\quad\frac{16}{25}\approx0.64\\n=3,&\quad\left(\frac{16}{25}\right)^2\approx0.40\\n=4,&\quad\left(\frac{16}{25}\right)^3\approx0.26\\n=5,&\quad\left(\frac{16}{25}\right)^4\approx0.16<0.18<\frac2{11}\end{aligned}\qquad(24)$그러므로 $\displaystyle n=5$이다.