자연계열 I 1번

점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 접선의 $\displaystyle x$절편이 되므로 $\displaystyle (2,0)$이다.

중심 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$에서 반지름 $\displaystyle r$이 주어졌을 때, 두 접선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle m$ 사이의 끼인각은 $\displaystyle 60^\circ$이다. 즉, 각 $\displaystyle \angle\mathrm{AOP}=60^\circ$, $\displaystyle \angle\mathrm{APO}=30^\circ$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAP}$는 내각의 크기가 각각 $\displaystyle 30^\circ$, $\displaystyle 60^\circ$, $\displaystyle 90^\circ$인 직각삼각형이다. 따라서,

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}:\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{OP}}=1:\sqrt3:2\qquad(1)$

이고 여기서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}$는 $\displaystyle r$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=r\sqrt3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=2r$이 된다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle r\cos60^\circ=\frac r2$이고 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle r\sin60^\circ=\frac{\sqrt3r}{2}$이 된다.

주어진 조건에 따라, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac12r,\frac{\sqrt3}{2}r\right)$, $\displaystyle \mathrm{B}\left(\frac12r,-\frac{\sqrt3}{2}r\right)$이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{OAPB}$의 넓이는,

$\displaystyle 2\times\frac12\times2r\times\frac{\sqrt3}{2}r=\sqrt3r^2\qquad(2)$

원하는 영역 $\displaystyle S(r)$은 사각형 $\displaystyle \mathrm{OAPB}$의 넓이에서 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이를 뺀 값이 된다. 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이는

$\displaystyle \frac12\times r^2\times\frac23\pi=\frac\pi3r^2\qquad(3)$

이므로, $\displaystyle S(r)=\left(\sqrt3-\frac\pi3\right)r^2$이고, $\displaystyle T(r)=\pi r^2$이다.

따라서, $\displaystyle k=\frac{\sqrt3}{\pi}-\frac13$이 된다.

주어진 문제의 조건에 따라, $\displaystyle x^2+y^2=1$인 원과, 두 접선 $\displaystyle l$, $\displaystyle m$이 이루는 각을 $\displaystyle 60^\circ$, 외부점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표 $\displaystyle (2,0)$, 직선 $\displaystyle l$의 방정식 $\displaystyle y=-\frac{\sqrt3}{3}(x-2)$, 직선 $\displaystyle m$의 방정식 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}{3}(x-2)$임을 알고 있다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 문제 1-1에서 구한 바와 같이 $\displaystyle \left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$이다. 여기서 수선의 발을 $\displaystyle x$축에 내렸으므로, 수선의 발 $\displaystyle \mathrm{H}_1$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac12,0\right)$이 된다. 여기서, $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}_1}$은 $\displaystyle 2-\frac12=\frac32$이 되고, $\displaystyle \mathrm{H}_1$과 $\displaystyle \mathrm{H}_2$를 지나는 직선 $\displaystyle y=\sqrt3\left(x-\frac12\right)$과 직선 $\displaystyle l$인 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt3-\sqrt3x}{3}$을 연립하면 교점 $\displaystyle \mathrm{H}_2$의 $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{8}$을 얻는다. 따라서,

$\displaystyle S(1)=\frac12\times\frac32\times\frac{3\sqrt3}{8}=\frac{9\sqrt3}{32}\qquad(1)$

이 된다. 직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle x$축이 이루는 각이 $\displaystyle 30^\circ$이므로, 각 밑변의 비는 아래와 같은 꼴로 줄어든다.

$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PH}_{n+2}}}{\overline{\mathrm{PH}_n}}=\cos^230^\circ=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34\qquad(2)$

연속된 세 삼각형 $\displaystyle \mathrm{H}_1\mathrm{H}_2\mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{H}_2\mathrm{H}_3\mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{H}_3\mathrm{H}_4\mathrm{P}$는 닮음이고, 높이와 밑변이 똑같은 비율로 감소 되므로 넓이도 그대로 식 (2)와 같은 비율로 감소된다. 따라서,

$\displaystyle S(n+1)=k\times S(n)\qquad(3)$

$\displaystyle S(n)=\left(\frac34\right)^{n-1}\times S(1),\quad\text{단 }(n\geq1)\qquad(4)$

주어진 문제 조건에 있는 로그 식을 사용하여 문제를 정의하면,

$\displaystyle S(n)=\frac{9\sqrt3}{32}\times\left(\frac34\right)^{n-1},\ S(n)\leq\frac19\qquad(5)$

이므로, 정리하면,

$\displaystyle \left(\frac34\right)^{n-1}\leq\frac{32}{81\sqrt3}\qquad(5)$

$\displaystyle (n-1)\times\log\left(\frac34\right)\leq\log\left(\frac{32}{81\sqrt3}\right)\qquad(6)$

이 되어 부등식의 근사값은

$\displaystyle (n-1)\geq\frac{(5\times0.3)-\left(4\times0.48+\frac12\times0.48\right)}{0.48-2\times0.3}=5.5\qquad(7)$

이므로 만족하는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 7$이다.