자연계열 II 1번

[그림 3]과 같이 $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$이므로, $\displaystyle \angle\mathrm{AOC}=\frac{\pi}{6}$가 된다. 또한, $\displaystyle \triangle\mathrm{OO_1T}$에 대해 다음과 같다.$\displaystyle (1-r_1)\times\sin\frac{\pi}{6}=r_1,\quad 1-r_1=2r_1,\quad r_1=\frac13\qquad(1)$

(1)에 의해 구해진 반지름의 길이는 $\displaystyle r_1=\frac13$이다. 또한, $\displaystyle \mathrm{O}_2$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{O_1T}$로 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$라 할 때, $\displaystyle \triangle\mathrm{O_2O_1H}$에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.$\displaystyle (r_1+r_2)\times\sin\frac{\pi}{6}=r_1-r_2\qquad(2)$이를 정리하면, $\displaystyle r_2=\frac19$가 된다.

결론적으로, $\displaystyle r_1=\frac13$, $\displaystyle r_2=\frac19$을 활용해 원의 넓이의 총합인 $\displaystyle S_2$와 원의 둘레의 길이의 총합인 $\displaystyle C_2$를 다음과 같이 구한다.$\displaystyle S_2=6\times\pi\times\frac1{81},\quad C_2=6\times2\times\pi\times\frac19\qquad(3)$이므로 $\displaystyle S_2=\frac2{27}\pi$ 이고, $\displaystyle C_2=\frac43\pi$ 이다.

문제 [1-1]의 일반항과 같으므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle (r_k+r_{k+1})\times\sin\frac\pi6=r_k-r_{k+1},\quad r_{k+1}=\frac13r_k\qquad(7)$또한, $\displaystyle r_k=\frac13\times\left(\frac13\right)^{k-1}$이므로 일반항 $\displaystyle r_k=\left(\frac13\right)^k$이다.

따라서, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}S_k$은 다음과 같은 방법으로 계산한다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}S_k=a_1\times\sum_{k=1}^{10}\pi r_k^2=6\pi\times\left\{\left(\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^4+\left(\frac13\right)^6+\cdots+\left(\frac13\right)^{20}\right\}\qquad(8)$이는 등비수열의 합과 같으므로 다음과 같이 풀이한다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}S_k=6\pi\times\left(\frac13\right)^2\times\left\{1+\frac19+\cdots+\left(\frac19\right)^9\right\}=\frac23\pi\times\frac{1-\left(\frac19\right)^{10}}{1-\frac19}\qquad(9)$이므로 정리하면, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}S_k$ 은 $\displaystyle \frac34\pi\left\{1-\left(\frac19\right)^{10}\right\}=\frac34\pi\left\{1-\left(\frac13\right)^{20}\right\}$이다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}C_k$도 마찬가지로 다음과 같이 풀이한다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}C_k=a_1\times\sum_{k=1}^{10}2\pi r_k=4\pi\times\left\{1+\frac13+\left(\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^3+\cdots+\left(\frac13\right)^9\right\}\qquad(10)$$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}C_k=4\pi\times\frac{1-\left(\frac13\right)^{10}}{1-\frac13}\qquad(11)$이므로 정리하면, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}C_k$는 $\displaystyle 6\pi\left\{1-\left(\frac13\right)^{10}\right\}$이다.

[문제 1-3]일반항 $\displaystyle a_n=3n+3$에 대해 영역을 균등하게 나누는 사잇각이 변화한다. $\displaystyle a_n$과 사잇각 사이의 규칙성을 논증하고 이를 서술한다. 예를 들어, $\displaystyle n=6$이면, 사잇각이 $\displaystyle 60^\circ$가 되고, $\displaystyle n=9$이면, 사잇각이 $\displaystyle 40^\circ$가 된다.Correction. 원의 개수가 $\displaystyle a_n=6$일 때 사잇각은 $\displaystyle 60^\circ$이고, $\displaystyle a_n=9$일 때 사잇각은 $\displaystyle 40^\circ$이다. 원문의 $\displaystyle n=6$, $\displaystyle n=9$는 각각 $\displaystyle a_n=6$, $\displaystyle a_n=9$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.즉, 일반항의 값의 변화에 따라 $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}$와 $\displaystyle \angle\mathrm{AOC}$를 다음과 같이 나타낸다.$\displaystyle \angle\mathrm{AOB}=\frac{2\pi}{3N+3}=\frac{2\pi}{a_N},\quad\angle\mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3N+3}=\frac{\pi}{a_N}\qquad(12)$다음과 같이 $\displaystyle \alpha$를 정의할 수 있다.$\displaystyle \alpha=\sin\frac{\pi}{3N+3}=\sin\frac{\pi}{a_N}\qquad(13)$

$\displaystyle \triangle\mathrm{OO_1T}$에서 삼각함수를 이용하면, 등비수열의 첫째항 $\displaystyle r_1$을 다음과 같이 얻는다.$\displaystyle (1-r_1)\times\alpha=r_1,\quad r_1=\frac\alpha{1+\alpha}\qquad(14)$

마찬가지 방법으로, 주어진 반지름 $\displaystyle r_k$에 대해 등비수열의 일반항을 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle \alpha=\sin\frac\pi{a_N}=\frac{r_k-r_{k+1}}{r_k+r_{k+1}}\qquad(15)$

이를 $\displaystyle r_k$에 대해 정리하면 $\displaystyle r_{k+1}$과 $\displaystyle r_k$에 대한 관계식을 다음과 같이 얻는다.$\displaystyle r_{k+1}=\left(\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right)\times r_k\qquad(16)$

그러므로, 최종적으로 구해진 원의 반지름의 길이 $\displaystyle r_k$는 다음과 같다.$\displaystyle r_k=\left(\frac\alpha{1+\alpha}\right)\times\left(\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right)^{k-1},\quad$ 단 $\displaystyle \alpha=\sin\frac\pi{a_N}\qquad(17)$