자연계열 II 2번

1) 함수 $\displaystyle f(x)-(x+2)$을 $\displaystyle (x-\alpha)(x-\beta)(x+\alpha)$라고 두고$\displaystyle \int_{-\alpha}^{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)(x+\alpha)\,dx=0$을 계산하면 $\displaystyle \beta=0$을 얻는다. 함수 $\displaystyle f(x)-(x+2)=(x-\alpha)x(x+\alpha)$을 두 번 미분하여 변곡점$\displaystyle (0,0)$을 가짐을 알 수 있다.

2) 점대칭과 변곡점의 성질이 평행이동에 대하여 보존되므로 $\displaystyle (p,q)$를 원점 $\displaystyle (0,0)$로 생각할 수 있다. 임의의 삼차함수 $\displaystyle g(x)=ax^3+bx^2+cx+d$가 원점 $\displaystyle (0,0)$에 변곡점을 가지면 $\displaystyle b=0=d$이므로 함수 $\displaystyle g(x)$은 $\displaystyle g(-x)=-g(x)$을 만족한다. 함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프 $\displaystyle (x,g(x))$은 원점 대칭 변환에 대하여 $\displaystyle (-x,g(-x))=(-x,-g(x))$를 만족하므로 원점 대칭이다.

3) $\displaystyle (f(x)-(x+2))^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}(x)$이므로 $\displaystyle f(x)-(x+2)$와 $\displaystyle f(x)$가 모두 $\displaystyle x=\beta=0$에서 변곡점을 가진다. 물음(2)에 따라 삼차함수 $\displaystyle f(x)$가 변곡점에 대칭이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 변곡점은 $\displaystyle \frac{3+1}2=2$을 함숫값으로 하므로 $\displaystyle f(0)=2$이다. 삼차함수 $\displaystyle f(x)$가 변곡점 $\displaystyle (0,2)$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle x=a$와 $\displaystyle x=-a$에서 극솟값과 극댓값을 갖는다고 할 때 $\displaystyle f(-a)=3,f(a)=1$이다. $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=6x$이므로 적분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3(x^2-a^2)$이고 $\displaystyle f(x)=x^3-3a^2x+2$이다. $\displaystyle f(a)=1$을 풀면 $\displaystyle a=\frac1{\sqrt[3]2}$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x^3-\frac3{\sqrt[3]4}x+2$이다.