자연계열 2번

(1) $\displaystyle f(\sqrt{3}+\sqrt{5})=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{4}+m(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}+n=(8m+n+124)+(2m+32)\sqrt{15}=0$이므로 지문에 주어진 사실로부터 $\displaystyle m,n$에 관한 두 방정식 $\displaystyle 8m+n+124=0$과 $\displaystyle 2m+32=0$을 얻게 된다. 이 연립방정식을 풀면 $\displaystyle m=-16$이고 $\displaystyle n=4$이다.

(2) 방정식 $\displaystyle f(x)=x^{4}-16x^{2}+4=0$의 서로 다른 실근의 개수는 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축의 교점의 개수와 같다. 여기서 도함수 $\displaystyle y=f^{\prime}(x)$를 통해 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 개형을 알아본다. 이때 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^{3}-32x=4x(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle x=-2\sqrt{2}, x=0$ 또는 $\displaystyle x=2\sqrt{2}$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호를 조사하여 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 실근이 4개의 구간 $\displaystyle (-\infty,-2\sqrt{2}), (-2\sqrt{2},0), (0,2\sqrt{2}), (2\sqrt{2},\infty)$에서 하나씩 존재한다. 즉, 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 $\displaystyle x$축과 서로 다른 네 점에서 만나므로 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 4이다.

(3) 문항 (2)로부터 $\displaystyle x^{4}-16x^{2}+4=0$의 근이 모두 실수이므로 근이 모두 무리수라는 결론을 부정하여 $\displaystyle x^{4}-16x^{2}+4=0$는 적어도 하나의 유리수인 근 $\displaystyle \alpha$을 가진다고 가정한다. $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle -\alpha$가 모두 $\displaystyle x^{4}-16x^{2}+4=0$의 근이 되므로 $\displaystyle \alpha=\frac{p}{q}$($\displaystyle p, q$은 서로소인 자연수)로 나타낼 수 있다.$\displaystyle x^{4}-16x^{2}+4=0$에 근 $\displaystyle \frac{p}{q}$을 대입한 후 양변을 $\displaystyle q^{4}$로 곱하여 정리하면$\displaystyle p^{4}=16p^{2}q^{2}-4q^{4}=4q^{2}(4p^{2}-q^{2})$이다. 여기서 $\displaystyle 4q^{2}(4p^{2}-q^{2})$이 짝수이므로 $\displaystyle p^{4}$이 짝수이고 $\displaystyle p$도 짝수이다. 따라서 $\displaystyle p=2k$($\displaystyle k$는 자연수)로 나타내면 $\displaystyle (2k)^{4}=4q^{2}(16k^{2}-q^{2})$이고$\displaystyle 4k^{4}=q^{2}(16k^{2}-q^{2})$이다. 만약 $\displaystyle q$가 홀수이면 $\displaystyle q^{2}$와 $\displaystyle 16k^{2}-q^{2}$이 모두 홀수가 되므로, 두 홀수의 곱 $\displaystyle q^{2}(16k^{2}-q^{2})$은 다시 홀수가 되지만 $\displaystyle 4k^{4}$가 짝수이므로 모순이다. 결국 $\displaystyle q$는 짝수이다. 그러면 $\displaystyle p, q$가 모두 짝수이므로 서로소인 자연수라는 가정의 모순이다. 귀류법에 따라서 $\displaystyle x^{4}-16x^{2}+4=0$는 모두 무리수인 근을 가진다.

(4) 문항 (1)에 의하여 $\displaystyle x^{4}-16x^{2}+4=0$은 $\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{5}$을 근으로 가진다. 문항 (2)에 따라서 $\displaystyle x^{4}-16x^{2}+4=0$은 서로 다른 4개의 실근을 가지므로 $\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{5}$는 실수임을 알 수 있다. 문항 (3)의 결과로부터 $\displaystyle x^{4}-16x^{2}+4=0$은 항상 무리수인 근을 가진다. 따라서 $\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{5}$는 $\displaystyle x^{4}-16x^{2}+4=0$의 실근이므로 무리수이다.