자연계열 2번

〈가〉 반지름이 $\displaystyle r$인 원의 넓이는 $\displaystyle f(r)=\pi r^2$으로 주어진다. $\displaystyle r$의 함수인 $\displaystyle f(r)$을 미분하면 $\displaystyle 2\pi r$이 되는데 이는 원주 길이와 같다. 이 사실은 다음과 같이 그림을 이용하여 설명할 수 있다. 미분의 정의에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(r)$은 $\displaystyle \lim_{\Delta r\to0}\frac{f(r+\Delta r)-f(r)}{\Delta r}$이고, $\displaystyle f(r+\Delta r)-f(r)$은 고리 모양 도형의 넓이와 같다.

고리 모양 도형은 폭이 $\displaystyle \Delta r$이고, 길이가 $\displaystyle 2\pi r$과 $\displaystyle 2\pi(r+\Delta r)$ 사이라 할 수 있으므로 $\displaystyle \Delta r$이 충분히 작으면 이 도형의 넓이는 대략 $\displaystyle 2\pi r\Delta r$이라 할 수 있다.이를 좀 더 자세히 살펴보자. 고리 모양 도형을 $\displaystyle n(=8)$등분하여 다음과 같이 배열할 수 있고,

$\displaystyle n$을 무한히 크게 하면 위 그림은 아래의 띠 모양으로 수렴한다.

따라서 원의 넓이함수 $\displaystyle f(r)$의 평균변화율 $\displaystyle \frac{f(r+\Delta r)-f(r)}{\Delta r}$은 $\displaystyle \Delta r$이 0으로 수렴할 때 원주 길이 $\displaystyle 2\pi r$로 수렴한다.

〈나〉 한 변의 길이가 $\displaystyle x$인 정삼각형 넓이를 $\displaystyle x$의 함수로 표현하면 $\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt3}{4}x^2$이다. 이 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{\sqrt3}{2}x$이므로, 정삼각형 둘레의 길이인 $\displaystyle 3x$보다 작다. $\displaystyle y=\frac{x}{2\sqrt3}$라 놓으면 정삼각형 넓이는 $\displaystyle h(y)=3\sqrt3y^2$이 되고, 이의 도함수 $\displaystyle h^{\prime}(y)=6\sqrt3y$는 정삼각형 둘레의 길이와 같아진다. 여기서 $\displaystyle y$는 한 변의 길이가 $\displaystyle x$인 정삼각형에 내접하는 원의 반지름을 의미한다.