자연계열 2번

〈가〉 어떤 구간의 모든 실수값을 취할 수 있는 확률변수 $\displaystyle X$를 연속확률변수라 하고, $\displaystyle a\leq X\leq b$가 될 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}(a\leq X\leq b)$로 나타낸다. 일반적으로 $\displaystyle \alpha\leq X\leq\beta$에 속하는 모든 실수값을 취하는 확률변수 $\displaystyle X$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$에서 다음 성질을 가지면 $\displaystyle f(x)$를 연속확률변수 $\displaystyle X$의 확률밀도함수라고 한다.(i) $\displaystyle f(x)\geq0\ (\alpha\leq x\leq\beta)$(ii) 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=\alpha,\ x=\beta$로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이다.(iii) $\displaystyle \mathrm{P}(a\leq X\leq b)\ (\alpha\leq a\leq b\leq\beta)$의 값은 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=a,\ x=b$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

〈나〉 분자들로 이루어진 계가 가지는 온도는 종종 절대온도로 표시된다. 절대온도는 섭씨온도에 273.15를 더한 값이다. 어떤 온도에서 평형을 이루고 있을 때, 분자들은 다양한 속도를 가지며 그 값은 분자들 간의 충돌을 통해 끊임없이 바뀐다. 그러므로 분자의 속도를 나타내는 연속확률변수를 $\displaystyle X$, 연속확률변수 $\displaystyle X$의 확률밀도함수를 $\displaystyle f(v)$라 할 때, $\displaystyle f(v)$의 모델로 다음과 같은 정규분포를 사용할 수 있다.$\displaystyle f(v)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{v^2}{2\sigma^2}}$

이때 분산 $\displaystyle \sigma^2$은 절대온도 $\displaystyle T$와 비례한다. 여기서 편의상 분자들은 1차원에서 움직이는 것으로 가정하였으며, $\displaystyle v$가 양이면 오른쪽으로, 음이면 왼쪽으로 움직이는 것을 나타낸다.

〈다〉 대부분의 화학 반응은 온도가 높아지면 반응 속도가 빨라지는데, 이것은 온도가 높아지면 분자의 운동이 활발해지며 반응이 일어나기에 충분한 만큼의 운동 에너지를 가진 분자들이 많아지기 때문이다. 온도를 낮추거나 높여서 반응 속도를 조절하는 예로는, 온도를 낮추어 생선이 상하는 반응을 느리게 하거나 압력솥에서 물의 끓는 온도를 높여서 음식이 빨리 익도록 하는 것 등을 들 수 있다.