한양대 서울캠퍼스 2014학년도 수시 상경계열 상경계열 2번 해설

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

한 명의 딜러(dealer)와 다수의 상인들이 다이아몬드를 거래하는 가상의 시장을 생각해 보자. 다수의 상인들 중에서 무작위로 선발된 한 명은 딜러와 다음의 방식으로 거래를 한다. 만약 그 한 명이 다이아몬드를 사고 싶은 경우 딜러에게 구매의사(buy)를 밝히고, 팔고 싶은 경우 판매의사(sell)를 밝힌다. 딜러는 구매의사가 있는 상인에게 판매가격 $\displaystyle A$ 에 팔고, 판매의사가 있는 상인에게 구매가격 $\displaystyle B$ 에 산다. 상인들 간에 다이아몬드를 사고파는 거래행위는 일절 금지된다.

거래되는 다이아몬드의 가치( $\displaystyle V$ )는 $\displaystyle V_L$ 또는 $\displaystyle V_H$ 이다. 상인들은 집단 I와 집단 U로 구성되어 있다. 집단 I에 속한 상인은 거래에 앞서 다이아몬드의 가치를 알고 있다. 그는 다이아몬드의 가치가 $\displaystyle V_L$ 이면 판매의사를 밝히고, $\displaystyle V_H$ 이면 거래에 참가하지 않는다. 이와는 달리 집단 U에 속한 상인은 다이아몬드의 가치와 무관하게 구매의사와 판매의사를 동일한 확률로 밝힌다. 전체 상인들 중에서 집단 I에 속한 상인들의 비율은 $\displaystyle r$ 로 알려져 있다.

상인과의 첫 번째 거래에 앞서 딜러는 다이아몬드의 가치가 $\displaystyle V_L$ 일 확률이 $\displaystyle p$ 라고 추측한다. 딜러는 상인이 밝히는 구매의사와 판매의사에는 가치에 관한 중요한 정보가 있을 것이라고 생각한다. 따라서 딜러는 첫 번째 거래에서 얻게 되는 구매의사와 판매의사를 활용하여 첫 번째 거래에 적용될 판매가격과 구매가격을 정하고자 한다. 다이아몬드를 판매할 때 딜러의 이익은 $\displaystyle A-V$ 이며, 구매할 때 이익은 $\displaystyle V-B$ 이다. 딜러는 판매와 구매에 따른 이익의 기댓값이 각각 영(zero)이 되게끔 판매가격과 구매가격을 결정한다. 이러한 딜러의 가격 결정 원칙은 첫 번째 거래 이후 이어지는 모든 거래에 있어 동일하게 적용된다. 즉, $\displaystyle N$ 번째 거래에서 적용될 판매가격과 구매가격은 앞서 이루어진 $\displaystyle N-1$ 번의 거래까지 누적된 정보와 $\displaystyle N$ 번째 거래에서 발생하는 정보에 의해 결정된다.

1. 첫 번째 거래에서 상인이 구매의사를 밝힐 확률과 판매의사를 밝힐 확률을 딜러의 입장에서 생각하여 구하시오.(힌트: 거래가 이루어질 때 발생하는 모든 경우의 수와 각각에 해당하는 확률을 먼저 구해야 한다. 예컨대, 다이아몬드의 가치가 $\displaystyle V_L$ 이고 집단 I에 속한 상인이 선발되어 판매의사를 밝힐 확률은 $\displaystyle pr$ 이다.)

2. 첫 번째 거래에서 상인이 구매의사를 밝혔다고 가정하자. 다이아몬드의 가치가 $\displaystyle V_L$ 일 확률을 딜러의 입장에서 생각하여 구하시오. 편의상 이 확률을 $\displaystyle p_{buy}$ 라고 하자. 다이아몬드의 가치에 관한 정보를 알고 있는 상인들의 비율이 증가할 경우 $\displaystyle p_{buy}$ 의 증감여부를 밝히고 왜 그러한지 설명하시오.

3. 첫 번째 거래에서 상인이 판매의사를 밝혔다고 가정하자. 다이아몬드의 가치가 $\displaystyle V_L$ 일 확률을 딜러의 입장에서 생각하여 구하시오. 편의상 이 확률을 $\displaystyle p_{sell}$ 이라 하자. 2번 문제에서 구한 $\displaystyle p_{buy}$ 와 $\displaystyle p_{sell}$ 의 크기를 비교하고, 그 관계가 의미하는 바를 간략히 설명하시오.

4. 첫 번째 거래에서 딜러가 상인에게 다이아몬드를 판매했다고 가정하자. 이 거래에서 딜러가 상인으로부터 받은 금액을 구하시오.

5. 다이아몬드를 판매한 첫 번째 거래에 이어 동일한 구성과 방식으로 진행된 두 번째 거래에서 딜러는 상인으로부터 다이아몬드를 구매했다고 가정하자. 두 번째 거래에서 딜러가 상인에게 지불한 금액을 구하시오.

한양대 서울캠퍼스 2014학년도 수시 상경계열 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2014su/sanggyeong_2

1. 거래에서 발생하는 모든 경우의 수와 각각의 사건에 해당하는 확률은 $\displaystyle \Pr(V_L,I,sell)=pr$ , $\displaystyle \Pr(V_L,U,buy)=\Pr(V_L,U,sell)=\frac{p(1-r)}2,\quad\Pr(V_H,U,buy)=\Pr(V_H,U,sell)=\frac{1-p}2$ 이다. 모든 사건은 독립적이다.Comment. ‘모든 사건은 독립적이다’에서 각 사건은 독립사건이 아니라 배반사건인 것으로 보인다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \Pr(buy)=\Pr(V_L,U,buy)+\Pr(V_H,U,buy)=\frac{p(1-r)}2+\frac{1-p}2=\frac{1-pr}2$ $\displaystyle \Pr(sell)=\Pr(V_L,I,sell)+\Pr(V_L,U,sell)+\Pr(V_H,U,sell)=pr+\frac{p(1-r)}2+\frac{1-p}2=\frac{1+pr}2$ 참고: $\displaystyle \Pr(buy)$ 를 먼저 구한 후 $\displaystyle \Pr(sell)=1-\Pr(buy)$ 로 구하거나, $\displaystyle \Pr(sell)$ 을 먼저 구한 후 $\displaystyle \Pr(buy)=1-\Pr(sell)$ 로 구한 경우도 모두 정답이다.Comment. 대학 예시답안은 다이아몬드의 가치가 $\displaystyle V_H$ 일 때 집단 I의 상인이 거래에 참가하지 않는다는 조건을 반영하지 않고 $\displaystyle \Pr(V_H,U,buy)=\Pr(V_H,U,sell)=\frac{1-p}2$ 로 계산했다. 제시문의 조건대로라면 $\displaystyle \Pr(V_H,U,buy)=\Pr(V_H,U,sell)=\frac{(1-p)(1-r)}2$ , $\displaystyle \Pr(V_H,I,\text{불참})=(1-p)r$ 이므로 $\displaystyle \Pr(buy)=\frac{1-r}2$ , $\displaystyle \Pr(sell)=\frac{1-r+2pr}2$ 이다. 이때 구매의사는 정보가 없는 상인만 밝히므로 $\displaystyle p_{buy}=p$ 로 $\displaystyle r$ 과 무관하고, $\displaystyle p_{sell}=\frac{p(1+r)}{1-r+2pr}$ , $\displaystyle A=pV_L+(1-p)V_H$ , $\displaystyle B=\frac{p(1+r)V_L+(1-p)(1-r)V_H}{1-r+2pr}$ 이다. $\displaystyle p_{sell}>p_{buy}$ 라는 3번의 결론은 같다. 원칙에 따라 대학 답안을 그대로 실었다.

2. “buy“가 주어진 경우 $\displaystyle V_L$ 이 되는 조건부확률은 $\displaystyle p_{buy}=\Pr(V_L\mid buy)=\frac{\Pr(V_L,buy)}{\Pr(buy)}=\frac{\frac{p(1-r)}2}{\frac{1-pr}2}=\frac{p(1-r)}{1-pr}$ .이다. $\displaystyle p_{buy}$ 의 증감여부를 알기 위해서는 다음의 식을 도출한다. $\displaystyle p_{buy}=\frac{p-pr}{1-pr}=1-\frac{1-p}{1-pr}$ $\displaystyle p_{buy}$ 는 $\displaystyle 0<r<1$ 이 증가할 때 감소함을 알 수 있다.

3. “sell“이 주어진 경우 $\displaystyle V_L$ 이 되는 조건부확률을 구하는 문제이다. $\displaystyle p_{sell}=\Pr(V_L\mid sell)=\frac{\Pr(V_L,sell)}{\Pr(sell)}=\frac{\frac{p(1+r)}2}{\frac{1+pr}2}=\frac{p(1+r)}{1+pr}$ $\displaystyle p_{sell}-p_{buy}=\frac{p(1+r)}{1+pr}-\frac{p(1-r)}{1-pr}=\frac{2pr(1-p)}{(1+pr)(1-pr)}$ $\displaystyle 0<p,r<1$ 이므로 $\displaystyle p_{sell}>p_{buy}$ 이다. 구매의사는 정보가 없는 상인이 $\displaystyle V_L$ 이나 $\displaystyle V_H$ 일 때 밝힌다. 판매의사는 정보가 있는 상인이 $\displaystyle V_L$ 일 때 밝히거나, 정보가 없는 상인이 $\displaystyle V_L$ 이나 $\displaystyle V_H$ 일 때 밝힌다. 따라서 판매의사는 딜러가 생각하는 $\displaystyle p$ 를 상향시킨다.

4. 딜러는 상인의 구매의사를 받아서 다이아몬드를 판매하였다. 그러므로 딜러가 결정한 판매가격은 다음과 같다. $\displaystyle A=E[V]=p_{buy}V_L+(1-p_{buy})V_H=\frac{p(1-r)V_L+(1-p)V_H}{1-pr}$

5. 딜러는 첫 번째 거래가 이루어진 후 획득된 정보를 통해서 두 번째 거래에 앞서 $\displaystyle V_L$ 이 될 확률을 $\displaystyle p_{buy}$ 라고 생각한다. 딜러는 누적된 정보를 사용하기에 두 번째 거래에서 발생한 판매의사를 활용하여 $\displaystyle V_L$ 이 될 확률(편의상 $\displaystyle p_{buy,sell}$ 이라고 하자)을 다음의 식으로 계산한다. $\displaystyle p_{buy,sell}=\frac{p_{buy}(1+r)}{1+p_{buy}r}=\frac{\frac{p(1-r)}{1-pr}(1+r)}{1+\frac{p(1-r)}{1-pr}r}=\frac{p(1-r^2)}{1-pr^2}$ 따라서 구매가격 B는 아래와 같이 계산된다. $\displaystyle B=E[V]=p_{buy,sell}V_L+(1-p_{buy,sell})V_H=\frac{p(1-r^2)V_L+(1-p)V_H}{1-pr^2}$

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

상경계열 2번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개