자연계열 3번

□ 다음을 읽고, [문제 3]에 답하시오.

[문제 3] (분량 제한 없음)

(a) 철수가 우연히 만난 타인과 상호작용하는 경우를 확률변수 $\displaystyle X_i$로 나타낼 때, 상호작용하는 경우를 $\displaystyle X_i=1$로 정의하고, 그 확률은 $\displaystyle \frac12$이다. 또한 상호작용하지 않는 경우를 $\displaystyle X_i=0$으로 정의하고, 그 확률도 $\displaystyle \frac12$이다. 이와 같은 독립 시행인 만남을 10회 반복할 때, 확률변수 $\displaystyle X=\sum_{i=1}^{10}X_i$가 이항분포 $\displaystyle B(10,\frac12)$를 따른다. 이 때 확률값 $\displaystyle \mathrm{Pr}(X\geq3)$의 실제적 의미를 간략히 기술하고 그 값을 수리적으로 추론하시오.

(b) 일반적으로 독립 시행 횟수 $\displaystyle n$이 충분히 크게 되면, 이항분포 $\displaystyle B(n,p)$는 평균값이 $\displaystyle m$인 정규분포에 근사된다. 이 때 확률밀도함수 $\displaystyle f(x)$가 다음과 같이 표현된다면,$\displaystyle f(x)=a\exp\left(-\frac{(x-m)^2}{c^2}\right),\ a>0,$확률의 성질을 이용하여 함수 $\displaystyle f(x)$에 나타난 상수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle c$의 관계를 설명하시오.(단, $\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}/2$이다.)

(c) 영희가 우연히 만난 타인과 상호작용하는 경우를 확률변수 $\displaystyle Y_i$로 나타낼 때, 상호작용하는 경우를 $\displaystyle Y_i=1$로 정의하고, 그 확률은 $\displaystyle \frac13$이다. 또한 상호작용하지 않는 경우를 $\displaystyle Y_i=0$으로 정의하고, 그 확률은 $\displaystyle \frac23$이다. 이와 같은 독립 시행인 만남을 900회 반복할 때, 확률변수 $\displaystyle Y=\sum_{i=1}^{900}Y_i$가 314회 이상 321회 이하일 확률을 다음에 주어진 표준정규분포표를 활용하여 수리적으로 추론하시오. (단, 편의를 위해 $\displaystyle \sqrt2$는 1.4로 함.)