자연계열 3번

(A) 프랙탈(fractal) 곡선은 반복적으로 자기유사성을 형성하는 기하학적 형태를 일컫는다. 아래 그림은 프랙탈의 하나인 코흐(Koch) 폐곡선의 단계별 모습을 보여주고 있다. 이 폐곡선은 각 변의 길이가 1인 정삼각형을 시작으로 매 단계에서 각 선분을 3등분(等分)한 후 가운데 부분이 정삼각형의 형태로 튀어나오면서 점차 눈송이 모양으로 변화한다.

(B) 아래 그림은 유클리드 공간에서 단위 길이(=1)로 구성된 각 도형을 각 차원에 대해 $\displaystyle \ell$등분했을 때의 모습이다. 예를 들어, 2등분의 경우($\displaystyle \ell=2$) 1차원 선분은 길이 1/2인 2개의 선분으로 나뉘며, 2차원 정사각형은 각 변의 길이가 1/2인 4($\displaystyle =2^2$)개의 정사각형으로 나뉜다. 마찬가지로 3차원 정육면체는 각 변의 길이가 1/2로 이루어진 정육면체 8($\displaystyle =2^3$)개로 분할된다.

이와 같이, 유클리드 공간에서 $\displaystyle D$차원 도형을 각 차원에 대해 $\displaystyle \ell$등분하면, 각 변의 길이가 $\displaystyle \epsilon(=1/\ell)$인 동일한 도형 $\displaystyle N$개로 나뉘며, 이때 $\displaystyle N=N(\ell)=\ell^D$ 또는 $\displaystyle N=N(\epsilon)=(1/\epsilon)^D$로 표현된다. 이를 바꾸어 생각하면, 균일하게 분할된 $\displaystyle D$차원 도형에 대해 $\displaystyle D=\frac{\log N(\ell)}{\log\ell}=\frac{\log N(\epsilon)}{\log(1/\epsilon)}$임을 알 수 있다. 자연수를 포함한 실수 영역으로 차원 $\displaystyle D$를 확장하면 $\displaystyle D=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\log N(\epsilon)}{\log(1/\epsilon)}=\lim_{\ell\to\infty}\frac{\log N(\ell)}{\log(\ell)}$와 같이 정의할 수 있다.