자연계열 3번

아래의 [문제 3]과 관련해서 유사한 상황을 다음과 같이 설정해 보자. 이동통신회사 A, B, C의 고객 이동 현황에 관한 추세를 월 단위로 분석하여 <그림 1>에 제시한 것과 같은 확률에 의해 가입자가 변하고 있음을 파악하였다. 이러한 그림을 상태전이도라고 하는데 화살표는 고객이 가입사를 옮기는 방향, 이에 대응하는 숫자는 이렇게 전이할 조건부확률을 나타낸다. 예를 들어, A, B 사이의 0.3은 어느 달의 가입 상태가 A사일 때 다음 달의 가입 상태가 B사로 바뀔 조건부확률이다. <그림 1>의 관계를 행렬로 나타내면 오른쪽의 $\displaystyle P$와 같고, 이를 전이확률행렬이라 부른다. 여기서, A, B, C는 전이 관계를 파악하기 위해 편의상 표기한 것이다. 이러한 전이 관계에서 다음의 상자 안에 주어진 조건 M을 만족한다고 하자.

$\displaystyle P=\begin{array}{cc}&\begin{array}{ccc}A&B&C\end{array}\\\begin{array}{c}A\\B\\C\end{array}&\begin{pmatrix}0.4&0.3&0.3\\0.4&0.2&0.4\\0.3&0.5&0.2\end{pmatrix}\end{array}$ 또는 $\displaystyle P=\begin{pmatrix}0.4&0.3&0.3\\0.4&0.2&0.4\\0.3&0.5&0.2\end{pmatrix}$

조건 M

1. 현재 시점을 $\displaystyle n$이라 할 때, 다음 시점인 $\displaystyle n+1$에서의 상태는 과거 시점과는 독립이고 오직 현재 상태에만 의존함.2. $\displaystyle n$번째 시점에서 상태가 $\displaystyle i$일 때, $\displaystyle n+1$ 시점의 상태 $\displaystyle j$로 이동할 확률은 어느 달을 기준 시점으로 하거나 같음.(위 예에서 $\displaystyle i,j$는 각각 가입사 중 하나를 나타냄)3. 현재 시점에서 $\displaystyle n$ 시점 후의 상태로 전이 관계를 나타내는 $\displaystyle n$-단계 전이확률행렬을 $\displaystyle P^{(n)}$이라 하면, 다음이 성립함.$\displaystyle P^{(n)}=P\times P\times\cdots\times P=P^n$4. 지정된 상태에서 한 시점 또는 $\displaystyle n$ 시점 후에 제자리에 머무는 것을 포함하여 다른 상태로 이동할 확률의 합은 1임. 즉, 전이확률행렬 또는 $\displaystyle n$-단계 전이확률행렬의 각 행에 있는 확률의 합은 1임.