한국항공대 2012학년도 수시 이학계열 1번 해설

일반적인 무한급수는 식(1)과 같이 표현된다.

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n=a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots\qquad (1)$

위와 같이 상수항들의 합으로 된 급수 외에도 일반항이 변수 $\displaystyle x$ 의 함수로서 $\displaystyle x^n$ 이나 $\displaystyle (x-a)^n$ 으로 되어 있는 급수도 있다. 이러한 $\displaystyle x$ 의 함수로 되어 있는 급수를 멱급수(power series)라 한다. 이 멱급수를 표현하면 다음과 같다.

$\displaystyle f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots\qquad (2)$

여기서 계수 $\displaystyle a_0, a_1, a_2, \cdots$ 는 상수이다.

아래의 각 함수와 도함수가 $\displaystyle x=0$ 에서 연속이고 미분 가능할 경우, 식(2) 우변의 각 계수들은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}f(0)&=a_0\\f'(0)&=g(0)=a_1\\g'(0)&=h(0)=2a_2\\h'(0)&=k(0)=2\cdot3a_3\\&\vdots\end{aligned}$

여기서 $\displaystyle f'(x)=\frac{df(x)}{dx}$ 로, 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle x$ 로 한번 미분한 도함수이고, $\displaystyle g(x)=f'(x)$ , $\displaystyle h(x)=g'(x)$ , $\displaystyle k(x)=h'(x)$ $\displaystyle \cdots$ 이다.

따라서 식(2)는 아래와 같이 표현된다.

$\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{g'(0)}{2}x^2+\frac{h'(0)}{2\cdot3}x^3+\cdots\qquad (3)$

1-1. 제시문의 방법을 이용하여 $\displaystyle (1+x)^n$ 을 처음 네 번째 항까지 멱급수로 전개하시오. 단, $\displaystyle |x|<1$ 이고 $\displaystyle n$ 은 상수이다. [20점]

1-2. 제시문과 문제[1-1]의 결과를 이용하여 다음 극한값을 구하시오. [5점] $\displaystyle \lim_{x\to0}\left[\frac{(1+x)^{1/3}}{x}-\frac1x\right]$

1-3. 제시문과 문제[1-1]의 결과를 이용하여 다음 적분값을 구하시오. 단, 멱급수의 세 번째 항까지만 전개하여 적분하시오. [5점] $\displaystyle \int_0^1(1-x)^{1/3}\,dx$

한국항공대 2012학년도 수시 이학계열 1번 · mathesis.kr/archive/kau/2012su/ihak_1

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1-1. 배점 20점 $\displaystyle a_0$ , $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_3$ 을 각각 구하면 부분점수를 부여한다.전개식을 한 번, 두 번, 세 번 미분한 식을 각각 구하면 부분점수를 부여한다.

1-2. 배점 5점제시문과 문제[1-1]의 결과를 이용하는 방법 또는 제시문처럼 다시 전개하는 방법 중 하나를 사용하여 그 식이 맞으면 부분점수를 부여한다.전개와 답이 맞으면 부분점수를 부여한다.다른 방법(L'hopital의 정리와 같은 방법)으로 하면 점수 없음.

1-3. 배점 5점제시문과 문제[1-1]의 결과를 이용하는 방법 또는 제시문처럼 다시 전개하는 방법 중 하나를 선택하여 식을 전개했다면 부분점수를 부여한다.전개와 식이 맞으면 부분점수를 부여한다.

원문에는 각 부분점수의 구체적인 점수가 제시되어 있지 않다.

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