자연계열 1번

(1)예시 1: $\displaystyle 2.5t=20n$ (즉 $\displaystyle t=8n$)이며 $\displaystyle 10(n-1)\le t=8n<10n$이다.따라서, $\displaystyle 10(n-1)\le8n$에서 $\displaystyle n\le5$이므로 $\displaystyle n=5$, 즉, 5개이다.예시 2: $\displaystyle f(t)=20+20\left[\frac{t}{20}\right],\ g(t)=2.5t$이다.Correction. 절약요금제의 통화당 요금은 $\displaystyle f(t)=20+20[t/10]$이므로 예시 2 첫 식의 분모 20은 10의 오기이다. 이어지는 대입식에는 분모 10이 쓰였다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle t=10n+m$ (여기서, $\displaystyle n=0,1,2,3,\ldots,\ 0\le m<10$)라 두면,$\displaystyle 2.5(10n+m)=g(t)=f(t)=20+20\left[\frac{10n+m}{10}\right]=20+20\left[n+\frac m{10}\right]=20+20n=20(1+n)$이다.따라서, $\displaystyle 0\le m<10$이므로 $\displaystyle -2<2n=8-m\le8$, 즉, $\displaystyle -2<n\le4$이다.Correction. 예시 1의 ‘$\displaystyle n=5$, 즉 5개’는 $\displaystyle n=1,2,3,4,5$라는 뜻이다. 예시 2에서 $\displaystyle -2<2n\le8$을 나누면 $\displaystyle -1<n\le4$이므로 하한 -2는 -1의 오기이다. 두 방법 모두 가능한 정수의 개수가 5개라는 결론은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle n$은 음이 아닌 정수 이므로, 이를 만족하는 $\displaystyle n$은 총 5개이다.예시: 아래의 그래프를 그려 만나는 점이 다섯 개인 이유를 논리적으로 설명한다.

(2) 문제 1에서 40초 까지는 다섯 개의 점에서 두함수가 만나고, 그 이후에는 만나는 점이 없으므로, 54~64초에는 $\displaystyle f(t)<g(t)$이다. 따라서 민수는 한 통화 할 때마다 알뜰 요금제 보다 더 많은 요금을 지불한다.Correction. 이 문제에서 $\displaystyle f(t)$는 절약 요금제, $\displaystyle g(t)$는 알뜰 요금제의 요금이다. $\displaystyle f(t)<g(t)$이므로 민수는 한 통화마다 알뜰 요금제보다 적은 요금을 지불한다. 원문의 “더 많은 요금”은 “더 적은 요금”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

왼쪽의 그림에서 보는 바와 같이 60초에서 통화당 알뜰요금제요금과 절약요금제요금의 차가 제일 적으며, 모든 통화를 60초로 했을 경우에는 10x99= -990원으로 기본요금에서 1000원의 이득을 생각하면, 매달 10원의 이득이 생겨 알뜰요금제가 유리하다. 하지만, 그림 2에서 보는 바와 같이 매달 통화는 60초가 아닌 시간에서의 통화가 있고, 60초가 아닌 시간에서의 통화에서는 10원을 초과하는 손해를 보므로 기본요금에서 1000원의 이득을 생각하면, 항상 매달 알뜰요금제가 손해이므로 민수가 절약요금제에서 알뜰요금제로 변경하는 것은 불리하다.Correction. $\displaystyle 10\times99=-990$에서 음수 부호는 오기이다. 통화료 증가액은 990원이고, 기본료 절감액 1000원을 빼면 총요금 차는 -10원이다. 원문 표기는 그대로 실었다.Comment. 대학 답안은 60초가 아닌 통화도 있으므로 알뜰요금제로 바꾸면 불리하다고 결론지었다. 그러나 이 사실만으로 알 수 있는 것은 99통의 통화료 차이가 $\displaystyle 99\times10=990$원보다 크다는 것뿐이다. 그 차이가 기본료 절감액인 1,000원을 넘는다는 근거는 빠져 있다.그림 2를 보면 58초 이상 59초 미만인 통화가 적어도 한 통 있다. 이 통화의 요금은 절약요금제에서 120원이고 알뜰요금제에서 적어도 $\displaystyle 58\times2.5=145$원이므로, 차이는 적어도 25원이다. 나머지 98통에서도 알뜰요금제의 통화료가 한 통당 적어도 10원 더 비싸다. 따라서 한 달 통화료는 적어도 $\displaystyle 25+98\times10=1{,}005$원 늘어난다. 기본료가 1,000원 줄어도 월 요금은 적어도 5원 늘어나므로, 대학의 결론대로 알뜰요금제로 바꾸는 것이 불리하다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

※ 그림2의 세로축의 값이 구체적으로 표시되어 있지 않는 것은 출제자의 의도임.