경북대 2011학년도 수시 자연계열 4번 해설

【제시문 4】

(가) [그림 1]은 점 $\displaystyle A$ 와 점 $\displaystyle B$ 를 잇는 곡선 $\displaystyle L$ , 선분 $\displaystyle AC$ , 선분 $\displaystyle BC$ 로 둘러싸인 토지를 나타낸 것이다. 이때 선분 $\displaystyle AC$ 와 선분 $\displaystyle BC$ 는 직각으로 만나고 두 선분의 길이는 각각 2 km 이다.

[그림 2]는 [그림 1]의 곡선 $\displaystyle L$ 을 함수 $\displaystyle f:[-1,1]\to[-1,1],\ y=f(x)$ 로 좌표평면 상에 나타낸 것이다.

(나)㉠ 정의역 내의 임의의 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle h(-x)=-h(x)$ 를 만족하는 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 를 기함수라고 하고, $\displaystyle h(-x)=h(x)$ 를 만족하는 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 를 우함수라고 한다.㉡ 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 가 기함수이면, 그 역함수 $\displaystyle y=h^{-1}(x)$ 도 기함수이다.㉢ 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 가 기함수이면, $\displaystyle \int_0^a h(x)dx=-\int_{-a}^0 h(x)dx$ 이고, 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 가 우함수이면, $\displaystyle \int_0^a h(x)dx=\int_{-a}^0 h(x)dx$ 이다.

【물음 4】(125점)(1) [그림 2]의 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 는 함수 $\displaystyle g:[-1,1]\to[-1,1],\ g(x)=\sin\left(\frac\pi2x\right)$ 에 대하여, $\displaystyle (f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)=x$ (임의의 실수 $\displaystyle x\in[-1,1]$ )이다. 제시문 (나)를 적절히 이용하여 [그림 1]의 토지 면적을 구하는 과정을 논술하시오.(2) [그림 1]의 선분 $\displaystyle AC$ 와 선분 $\displaystyle BC$ 를 두 변으로 하는 정사각형의 토지를 생각하자. 이 정사각형 토지를 이등분하는 직선은 여러 개가 있을 수 있다. 이등분된 토지 중 한 영역의 둘레를 따라 울타리를 만들려고 한다. 울타리의 길이를 최소로 하기 위해 어떤 직선을 선택해야 하는지에 대하여 논술하시오.

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물음1] $\displaystyle g(-x)=\sin\left(-\frac\pi2x\right)=-\sin\left(\frac\pi2x\right)=-g(x)$ 이므로, $\displaystyle g(x)$ 는 기함수이다. $\displaystyle (f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)=x$ 이므로 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle g(x)$ 의 역함수이다.제시문 나) ㉡ 에 의하여 $\displaystyle f(x)$ 는 기함수이다.방법1:[그림 1]의 토지의 면적 = $\displaystyle \int_{-1}^1(f(x)-(-1))dx=\int_{-1}^1(f(x)+1))dx$ 이다. $\displaystyle f(x)$ 는 기함수이고 상수 함수 $\displaystyle y=1$ 은 우함수 이므로,제시문 나) ㉢에 의하여, $\displaystyle \int_{-1}^1(f(x)+1))dx=0+2\int_0^1(1)dx=2$ 이다.Correction. 방법 1에서 두 번 나오는 $\displaystyle \int_{-1}^1(f(x)+1))\,dx$ 에는 닫는 괄호가 하나씩 더 들어 있다. 올바른 표기는 $\displaystyle \int_{-1}^1(f(x)+1)\,dx$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.방법2: 아래 그림과 같이 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ , $\displaystyle y=x$ 의 그래프를 그린다.

Correction. 방법2의 첫 그림에서 $\displaystyle \mathrm B$ , $\displaystyle \mathrm C$ 의 이름이 문제의 [그림 2]와 서로 바뀌어 있다. [그림 2]의 표기에 맞추면 오른쪽 위 점은 $\displaystyle \mathrm B$ , 오른쪽 아래 점은 $\displaystyle \mathrm C$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle S_1=S_4$ 임을 밝히면, 토지의 면적이 삼각형 ABC의 면적과 같아지므로, 토지의 면적은 2이다.주장: $\displaystyle S_1=S_4$ 이다.논증 방법 1: $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle y=x$ 가 기함수이므로, $\displaystyle x-f(x)$ 도 기함수이다.따라서, 제시문 나) ㉢에 의하여 $\displaystyle S_4=\int_0^1(x-f(x))dx=-\int_{-1}^0(x-f(x))dx=\int_{-1}^0(f(x)-x)dx=S_1$ 논증 방법 2:

$\displaystyle f(x)$ 가 기함수 이므로, 제시문 나) ㉢에 의하여 $\displaystyle T_1=\int_{-1}^0(0-f(x))dx=-\int_{-1}^0 f(x)dx=\int_0^1 f(x)dx=T_2$ 이다.그리고, $\displaystyle g(x)$ 가 기함수 이므로, 제시문 나) ㉢에 의하여 $\displaystyle -\int_{-1}^0 g(x)dx=\int_0^1 g(x)dx$ 이다. 따라서, $\displaystyle T_1+S_1+S_2=\int_{-1}^0(0-g(x))dx=-\int_{-1}^0 g(x)dx=\int_0^1 g(x)dx=T_2+S_3+S_4$ 이다.한편, 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 는 역함수 관계이므로, 두 함수의 그래프는 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이다. 따라서 $\displaystyle S_1=S_2,\ S_3=S_4$ 이다. $\displaystyle T_1+S_1+S_2=T_2+S_3+S_4$ 이다. 결과적으로 $\displaystyle S_1+S_2=S_3+S_4$ 이다. $\displaystyle S_1=S_2$ 이고 $\displaystyle S_3=S_4$ 이므로, $\displaystyle 2S_1=2S_4$ , 즉, $\displaystyle S_1=S_4$ 이다.

[물음 2]Step 1: 정사각형의 토지를 이등분하는 직선은 원점O를 지나는 직선들뿐임을 여러 가지 방법으로 설명한다.Step 2:. 원점O를 지나는 직선들 중 울타리의 길이가 최소가 되는 직사각형임을 여러 가지 방법으로 밝힌다.

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자연계열 4번

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