자연계열 1번

(가)정의역이 $\displaystyle \{x\mid1\le x\le2\}$이고 공역이 $\displaystyle \{y\mid1\le y\le2\}$인 연속함수 $\displaystyle y=f(x)$가 있다. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 함수 $\displaystyle y=f_n(x)$를$\displaystyle f_n=f\circ f\circ\cdots\circ f$ ($\displaystyle f$가 $\displaystyle n$개)라 하고 $\displaystyle a_n=\int_1^2f_n(x)\,dx$로 나타냈더니 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{3a_n-2}{a_n}$를 만족하고 첫째항이 $\displaystyle \frac{5}{3}$인 수열이 되었다.

(나)어떤 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프가 제시문 (가)에서 주어진 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 점$\displaystyle (3,3)$에 대하여 점대칭이라 하면, 함수 $\displaystyle y=g(x)$는 정의역이 $\displaystyle \{x\mid4\le x\le5\}$이고 공역이 $\displaystyle \{y\mid4\le y\le5\}$인 연속함수가 된다. 이 때 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 함수 $\displaystyle y=g_n(x)$를$\displaystyle g_n=g\circ g\circ\cdots\circ g$ ($\displaystyle g$가 $\displaystyle n$개)로 나타낸다.

(다)정의역이 $\displaystyle \{x\mid0\le x\le1\}$이고 공역이 $\displaystyle \{y\mid0\le y\le1\}$인 함수 $\displaystyle y=h(x)$가 $\displaystyle 0\le x<\frac{1}{3}$일 때 $\displaystyle h(x)=2x$를, $\displaystyle \frac{1}{3}\le x\le1$일 때 $\displaystyle h(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$을 만족한다. 이 때 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 함수 $\displaystyle y=h_n(x)$를$\displaystyle h_n=h\circ h\circ\cdots\circ h$ ($\displaystyle h$가 $\displaystyle n$개)로 나타낸다.