자연계열 1번

광운대 2010학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2010su/jayeon_1

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

정보 보안성이 중요시되는 현대 정보화 시대에는 안전하게 정보를 전달하는 방법에 대한 연구가 다양하게 진행되고 있다. 그 중 행렬에 관한 성질 또는 함수에 관한 성질들을 이용하여 주어진 문장을 암호화하고 전달된 암호문을 해독하여 원래의 문장으로 복원하는 방법도 연구되고 있다. 실제로 <표 1>을 이용하여 주어진 문장을 수열화하고 행렬이나 함수의 성질을 이용하여 다양한 방법으로 암호화하고 해독할 수 있다. (<표 1>에서 space는 한 칸 띄우는 것을 의미한다)

<표 1> 문자와 수와의 대응관계 표

$\mathrm{a}$	$\mathrm{b}$	$\mathrm{c}$	$\mathrm{d}$	$\mathrm{e}$	$\mathrm{f}$	$\mathrm{g}$	$\mathrm{h}$	$\mathrm{i}$	$\mathrm{j}$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$\mathrm{k}$	$\mathrm{l}$	$\mathrm{m}$	$\mathrm{n}$	$\mathrm{o}$	$\mathrm{p}$	$\mathrm{q}$	$\mathrm{r}$	$\mathrm{s}$	$\mathrm{t}$
$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$\mathrm{u}$	$\mathrm{v}$	$\mathrm{w}$	$\mathrm{x}$	$\mathrm{y}$	$\mathrm{z}$	$\mathrm{space}$	$\mathrm{♥}$	$\mathrm{★}$	$\mathrm{♠}$
$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$

만일, 암호문의 송신자가 “I can pass”라는 문장을 암호화하여 송신하려고 한다면 우선 이 문장에 대응하는 수들을 차례로 나열한 수열 “9,27,3,1,14,27,16,1,19,19” 을 얻고 이들 수들의 배열을 5개씩 끊어서 $\displaystyle 2 \times 5$ 행렬 A = $\displaystyle \begin{pmatrix}9&27&3&1&14\\27&16&1&19&19\end{pmatrix}$ 로 나타낸다. 그 다음에 행렬 B = $\displaystyle \begin{pmatrix}5&-1\\-1 &3\end{pmatrix}$ 을 곱하여 다음과 같이 암호화하고 암호문 “18,119,14,-14,51,72,21,0,56,43” 을 보낸다고 가정한다.

BA = $\displaystyle \begin{pmatrix} 5&-1 \\-1 &3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}9&27&3&1&14\\27&16&1&19&19\end{pmatrix}$ = $\displaystyle \begin{pmatrix}18&119&14&-14&51\\72&21&0&56&43\end{pmatrix}$

[문제 1] (40 점)

(1) 송신자가 위와 같이 행렬을 이용하여 암호문을 만들고 송신할 때 암호문의 수신자가 암호문을 해독하려면 어떤 정보를 갖고 있어야 하는지 설명하시오. 또한, 이 정보가 암호문 해독 과정에서 어떻게 사용되는지 설명하시오.

(2) 위와 같은 방법으로 암호화하고 해독하는 데 사용했던 행렬 B 대신에 다른 행렬 C = $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 를 이용하려고 한다. 이 때, 행렬 C는 어떤 성질을 갖고 있어야 하는지 수 $\displaystyle a,b,c,d$ 사이의 관계를 이용하여 설명하시오.

(3) 주어진 문장을 암호화하고 해독하는 데 제시문처럼 $\displaystyle 2 \times 2$ 행렬을 이용하는 대신에 $\displaystyle 3 \times 3$ 행렬을 이용할 수 있는지 판단하고 그 이유를 설명하시오.

(4) 자연수의 집합 $\displaystyle \mathbb{N}$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , $\displaystyle f(x)=x+3$ 을 이용하여 주어진 문장 “I can pass”를 암호화하고, 함수 $\displaystyle g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , $\displaystyle g(x)=x-3$ 을 이용하여 해독할 수 있다. 이 때, 함수 $\displaystyle f$ 의 어떤 성질을 이용한 것인지 설명하시오. 또한, 이와 같은 방법으로 암호화하고 해독하는 데 함수 $\displaystyle h: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , $\displaystyle h(x)=2x ^{3} +1$ 을 이용할 수 있는지 판단하고 그 이유를 설명하시오.Caution. 역함수를 정의할 때는 원래 함수의 치역이 역함수의 정의역이 됨에 주의해야 한다: $\displaystyle f(x)=x+3$ 의 치역은 $\displaystyle \{4,5,6,\ldots\}$ 이다. 해독 함수 $\displaystyle g(x)=x-3$ 은 이 집합을 정의역으로 두어야 $\displaystyle f$ 의 역함수가 된다. 원문처럼 $\displaystyle g:\mathbb N\to\mathbb N$ 으로 두면 $\displaystyle g(1)=-2$ 가 자연수가 아니므로 함수의 정의에 맞지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

해설강의 준비중

광운대 2010학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2010su/jayeon_1

(1) 수신자는 문자와 수와의 대응관계 표와 행렬 B의 역행렬을 알고 있어야 한다.

또한, 수신자는 다음과 같은 과정을 통하여 암호문을 해독할 수 있다.

(1단계) 수신자는 암호문 “18,119,14,-14,51,72,21,0,56,43”을 숫자 5개씩 끊어서 $\displaystyle 2 \times 5$ 행렬

D = $\displaystyle \begin{pmatrix}18&119&14&-14&51\\72&21&0&56&43\end{pmatrix}$ 를 만든다.

(2단계) B가 정칙행렬이므로 역행렬 B $\displaystyle {} ^{-1}$ = $\displaystyle \frac1{14}\begin{pmatrix}3&1\\1&5\end{pmatrix}$ 가 존재한다.

역행렬 B $\displaystyle {} ^{-1}$ 를 행렬 D의 왼쪽에 곱하여 행렬 B $\displaystyle {} ^{-1}$ D = $\displaystyle \begin{pmatrix}9&27&3&1&14\\27&16&1&19&19\end{pmatrix}$ 를 구하고 행렬

B $\displaystyle {} ^{-1}$ D의 1행, 2행의 성분을 “9,27,3,1,14,27,16,1,19,19”와 같이 순서대로 나열한 후 표를 이용하여 대응되는 알파벳을 찾아 원하는 문장 “I can pass"을 얻는다.

(2) 행렬 C의 역행렬 C $\displaystyle {} ^{-1}$ 가 존재하면 주어진 방법과 같은 방법으로 암호화하고 해독할 수 있으므로 행렬 C의 역행렬이 존재하기위한 필요충분조건인 " $\displaystyle ad \ne bc$ " 가 $\displaystyle a,b,c,d$ 사이의 관계가 된다.

(3) $\displaystyle 3 \times 3$ 행렬을 사용할 수 있다. 예를 들면,

<송신자> 문장 “I can pass"에 대응되는 자연수의 개수는 10개이므로 맨 처음에 의미 없는 28이라는 수를 두 번 삽입하여 수열 “28,28,9,27,3,1,14,27,16,1,19,19”를 만들고 숫자 4개씩 끊어서 행렬

E = $\displaystyle \begin{pmatrix}28&28&9&27\\3&1&14&27\\16&1&19&19\end{pmatrix}$ 를 만든다.

(이때, 의미 없는 숫자 28을 이용하는 대신에 29 또는 30을 이용할 수 있다)

이를 암호화하기 위하여 역행렬이 존재하는 $\displaystyle 3 \times 3$ 행렬 F를 E의 왼쪽에 곱한 행렬 FE의 1행, 2행, 3행의 성분들을 순서대로 나열한 암호문을 송신한다. (이때, 행렬 F는 역행렬이 존재하기만 하면 된다. 따라서 F를 선택하는 방법은 무수히 많이 존재한다)

<수신자> 암호 수신자는 받은 수열을 4개씩 끊어서 $\displaystyle 3 \times 4$ 행렬 G를 만들고 왼쪽에 F의 역행렬을 곱한 후 얻은 $\displaystyle 3 \times 4$ 행렬 F $\displaystyle {} ^{-1}$ G의 1행, 2행, 3행의 성분들을 순서대로 나열하고 표를 이용하여 대응되는 알파벳을 찾아 나열하여 최종적으로 암호문을 해독할 수 있다.

(4) 주어진 함수 $\displaystyle f$ 는 일대일 함수이고, $\displaystyle (g \circ f)(x)=x$ 이므로 이용 가능하다.

우선 송신자는 수열 “9,27,3,1,14,27,16,1,19,19”을 구성하는 수들의 함수 $\displaystyle f$ 에 대한 함숫값을 순서대로 나열하여 암호화하고. 수신자는 수신된 수열을 구성하고 있는 수들의 함수 $\displaystyle g$ 에 대한 함숫값을 순서대로 나열한 후 <표 1>을 이용하여 대응되는 문자를 나열하여 암호를 해독할 수 있다.

또한, 함수 $\displaystyle h: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , $\displaystyle h(x)=2x ^{3} +1$ 도 일대일 함수이므로 함수 $\displaystyle h$ 를 이용하여 암호화하고 함수 $\displaystyle k(x)= \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}$ 를 이용하면 $\displaystyle (k \circ h)(x)=x$ 이므로 암호를 해독할 수 있다.

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