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자연계열 1번

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광운대 2017학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2017mo/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.(50점)

(1) 자연수 a\displaystyle a와 자연수 b\displaystyle b에 대하여 자연수 q\displaystyle q가 존재하여 a=bq\displaystyle a=bq이면 a\displaystyle a를 b\displaystyle b의 배수, b\displaystyle b를 a\displaystyle a의 약수라 한다.

(2) 자연수 a\displaystyle a와 자연수 b\displaystyle b의 공약수 중에서 가장 큰 수를 자연수 a\displaystyle a와 자연수 b\displaystyle b의 최대공약수라 한다.

(3) 자연수 a\displaystyle a와 자연수 b\displaystyle b에 대하여 a=bq+r\displaystyle a=bq+r, 0≤r<b\displaystyle 0 \le r<b를 만족시키는 q\displaystyle q와 r\displaystyle r이 존재한다. 이때 q\displaystyle q를 a\displaystyle a를 b\displaystyle b로 나누었을 때의 몫, r\displaystyle r를 나머지라고 한다.

(4) 다항식 A\displaystyle A를 다항식 B(B≠0)\displaystyle B (B \ne 0)로 나누었을 때의 몫을 Q\displaystyle Q, 나머지를 R\displaystyle R라 하면

A=BQ+R\displaystyle A=BQ+R가 성립한다. 이때 R\displaystyle R의 차수는 B\displaystyle B의 차수보다 낮다.

(5) (수학적 귀납법) 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.

(1) n=1\displaystyle n=1일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

(2) n=k\displaystyle n=k일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면

n=k+1\displaystyle n=k+1일 때에도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

[1] 임의의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 a=2n×32n−1\displaystyle a=2 ^{n} \times 3 ^{2n} -1이 17\displaystyle 17의 배수임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하시오.(10점)

[2] 자연수 a\displaystyle a를 자연수 b\displaystyle b로 나누었을 때 몫 q1,q2\displaystyle q _{1} , q _{2}와 나머지 r1,r2\displaystyle r _{1} , r _{2}가 존재하여 a=bq1+r1=bq2+r2\displaystyle a=bq _{1} +r _{1} =bq _{2} +r _{2}가 성립한다고 한다. 그러면 q1=q2\displaystyle q _{1} =q _{2}이고 r1=r2\displaystyle r _{1} = r _{2}임을 증명하시오.(10점)

[3] 함수 f:N→N\displaystyle f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}를 다음과 같이 정의하자. (N\displaystyle \mathbb{N}은 모든 자연수의 집합이다.)

a∈N\displaystyle a \in \mathbb{N}에 대하여 f(a)=k\displaystyle f(a)=k (k\displaystyle k는 a\displaystyle a와 2\displaystyle 2의 최대공약수)

(1) 함수 f\displaystyle f가 다음 성질을 만족하는지 판정하고 이유를 설명하시오.(3점)

모든 a,b∈N\displaystyle a, b \in \mathbb{N}에 대하여 f(ab)=f(a)f(b)\displaystyle f(ab) = f(a)f(b)이다.

(2) f(a)=1\displaystyle f(a)=1이고 f(b)=1\displaystyle f(b)=1인 a\displaystyle a와 b\displaystyle b에 대하여 f(ab)=f(a)f(b)\displaystyle f(ab) = f(a)f(b)가 성립함을 증명하시오.(6점)

[4] 실수 a,b\displaystyle a, b에 대하여 두 다항식을 f(x)=ax2016+bx523−6,g(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=ax ^{2016} +bx ^{523} -6, g(x)=x ^{2} +x+1라 놓으면 제시문(4)에 의하여 f(x)=q(x)g(x)+r(x)\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)를 만족하는 다항식 q(x)\displaystyle q(x)와 r(x)\displaystyle r(x)가 존재한다. r(x)=0\displaystyle r(x)=0일 때 ab\displaystyle ab를 구하시오.(9점)

[5] 다항식 f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d\displaystyle f(x)=x ^{2} +ax+b, g(x)=x ^{2} +cx+d (a,b,c,d∈N)\displaystyle (a, b, c, d \in \mathbb{N})에 대하여 집합 X\displaystyle X와 집합 Y\displaystyle Y를 다음과 같이 정의하자.Correction. 두 식을 원문대로 쓰면 계수 조건의 ‘자연수’는 ‘정수’의 오기이다. 자연수 조건을 그대로 두면 두 식의 일차항 +ax\displaystyle +ax와 +cx\displaystyle +cx는 각각 −ax\displaystyle -ax와 −cx\displaystyle -cx의 오기이다. 어느 쪽으로 바로잡아도 두 이차식은 (x−2)(x−3)\displaystyle (x-2)(x-3)과 (x−2)(x−8)\displaystyle (x-2)(x-8)이므로 대학 답 k=112\displaystyle k=\frac{11}{2}가 나온다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

X={x∈R∣f(x)+g(x)=0}\displaystyle X = \left\{ x \in \mathbb{R} | f(x)+g(x)=0 \right\}, Y={x∈R∣f(x)g(x)=0}\displaystyle Y = \left\{ x \in \mathbb{R} | f(x)g(x)=0 \right\}

X={2,k},Y={2,3,8}\displaystyle X= \left\{ 2, k \right\} , Y= \left\{ 2, 3, 8 \right\}일 때 k\displaystyle k를 구하시오. (R\displaystyle \mathbb{R}는 모든 실수의 집합이고 N\displaystyle \mathbb{N}은 모든 자연수의 집합이다)

(12점)

해설강의 준비중

수학적 귀납법

광운대 2017학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2017mo/jayeon_1

+3점 · n=1\displaystyle n=1일 때 증명했으면

[1] n=1\displaystyle n=1일 때 a=2×32−1=17\displaystyle a= 2 \times 3^{2} - 1 = 17이므로 a\displaystyle a는 17\displaystyle 17의 배수이다.

+2점 · n=k\displaystyle n=k일 때 가정했으면

n=k\displaystyle n=k일 때 a=2k×32k−1=18k−1\displaystyle a= 2^k \times 3 ^{2k} - 1 = 18^k -1이 17\displaystyle 17의 배수라 가정하자.

+5점 · n=k+1\displaystyle n=k+1일 때 증명했으면

n=k+1\displaystyle n=k+1일 때 a=2k+1×32(k+1)−1=18k+1−1=(18k−1)(18+1)−(18k−1)+17\displaystyle a= 2^{k+1} \times 3^{2(k+1)} - 1 = 18^{k+1} - 1 = (18^k - 1 ) (18+1 ) - (18^k - 1) + 17이다.

그런데 (18k−1)(18+1),18k−1,17\displaystyle (18^k - 1 ) (18+1 ) , 18^k - 1,17모두 17\displaystyle 17의 배수이므로 a=2k+1×32(k+1)−1\displaystyle a= 2^{k+1} \times 3^{2(k+1)} - 1은 17\displaystyle 17의 배수이다.

+2점 · b(q1−q2)=r2−r1\displaystyle b(q_1-q_2)=r_2-r_1임을 보였으면

[2] a=bq1+r1=bq2+r2\displaystyle a= b q_{1} + r_{1} = bq_{2} + r_{2}이므로 b(q1−q2)=r2−r1\displaystyle b(q_{1} - q_{2} ) = r_{2} - r_{1}이다.

+3점 · r2>r1\displaystyle r_2>r_1일 때 모순임을 보였으면

만일 r2>r1\displaystyle r_{2} > r_{1}이라면 0<r2−r1<b\displaystyle 0<r_{2} - r_{1} < b이므로 b(q1−q2)≠r2−r1\displaystyle b( q_{1} - q_{2} ) \ne r_{2} - r_{1}이다.

+3점 · r2<r1\displaystyle r_2<r_1일 때 모순임을 보였으면

만일 r2<r1\displaystyle r_{2} < r_{1}이라면 0<r1−r2<b\displaystyle 0 < r_{1} - r_{2} < b이므로 b(q1−q2)≠r2−r1\displaystyle b(q_{1} - q_{2} ) \ne r_{2} - r_{1}이다.

+2점 · q1=q2\displaystyle q_1=q_2임을 보였으면

따라서 r2=r1\displaystyle r_{2} = r_{1}이다. 또한 b(q1−q2)=0\displaystyle b(q_{1} - q_{2} ) = 0이므로 q1=q2\displaystyle q_{1} = q_{2}이다.

+3점 · (1) 반례를 제시했으면

[3]

(1) 함수 f\displaystyle f는 주어진 성질을 만족시키지 않는다. 반례는 다음과 같다.

a=2, b=2\displaystyle a=2,~b=2로 놓으면 f(2×2)=f(4)=2\displaystyle f(2 \times 2 ) = f(4) = 2이고 f(2)f(2)=2×2=4\displaystyle f(2) f(2) = 2 \times 2 = 4이므로 f(2×2)≠f(2)f(2)\displaystyle f( 2 \times 2 ) \ne f(2)f(2)이다.

+3점 · (2) a\displaystyle a와 b\displaystyle b가 모두 홀수임을 보였으면

(2) f(a)=1, f(b)=1\displaystyle f(a) = 1,~f(b)=1이므로 a\displaystyle a와 b\displaystyle b는 모두 홀수이다.

+3점 · (2) f(ab)=1\displaystyle f(ab)=1임을 보였으면

따라서 ab\displaystyle ab는 홀수이고 f(ab)=1\displaystyle f(ab) = 1이다. 따라서 f(ab)=f(a)f(b)\displaystyle f(ab) = f(a) f(b)이다.

+3점 · g(x)=0\displaystyle g(x)=0을 만족시키는 복소수를 w\displaystyle w라 할 때 w3−1=0\displaystyle w^3-1=0임을 보였으면

[4] r(x)=0\displaystyle r(x) =0이므로 f(x)=g(x)q(x)\displaystyle f(x) = g(x)q(x)이다.

g(x)=0\displaystyle g(x) = 0을 만족시키는 복소수를 w\displaystyle w라 하면 w2+w+1=0\displaystyle w^{2} + w + 1 = 0이므로 w3−1=(w−1)(w2+w+1)=0\displaystyle w^{3} - 1 = (w-1)(w^{2} + w + 1 ) = 0이다.

+4점 · f(w)=aw2016+bw523−6=a+bw−6=0\displaystyle f(w)=aw^{2016}+bw^{523}-6=a+bw-6=0임을 보였으면

따라서 f(w)=g(w)q(w)=0\displaystyle f(w) = g(w)q(w)=0이다.

그런데 w3=1\displaystyle w^{3} = 1이므로 f(w)=aw2016+bw523−6=a+bw−6=0\displaystyle f(w) = aw^{2016} + bw^{523} - 6 = a+bw -6 = 0이다.

+2점 · ab=0\displaystyle ab=0임을 보였으면

그러므로 (a−6)+bw=0\displaystyle (a-6) + bw = 0이고 a\displaystyle a와 b\displaystyle b는 실수이고 w\displaystyle w는 실수가 아닌 복소수이므로 a=6, b=0\displaystyle a=6,~b=0이다. 따라서 ab=0\displaystyle ab=0이다.

+3점 · f(2)=0=g(2)\displaystyle f(2)=0=g(2)임을 보였으면

[5] f(2)=−g(2),f(2)g(2)=0\displaystyle f(2) = - g(2) , f(2)g(2) = 0이므로 f(2)f(2)=0=g(2)g(2)\displaystyle f(2)f(2) = 0 = g(2)g(2)이다. 따라서 f(2)=0=g(2)\displaystyle f(2) = 0 = g(2)이다.

+3점 · f(x)=(x−2)(x−s)\displaystyle f(x)=(x-2)(x-s)이고 g(x)=(x−2)(x−t)\displaystyle g(x)=(x-2)(x-t)임을 보였으면

그러므로 적당한 실수 s,t\displaystyle s,t가 존재하여 f(x)=(x−2)(x−s)\displaystyle f(x) = (x-2) (x-s)이고 g(x)=(x−2)(x−t)\displaystyle g(x) = (x-2 ) (x-t)이다.

+3점 · k=s+t2\displaystyle k=\frac{s+t}2임을 보였으면

f(x)+g(x)=0\displaystyle f(x)+g(x)=0이므로

(x−2)(x−s)+(x−2)(x−t)=0\displaystyle (x-2) (x-s) + (x-2) (x-t) = 0이고 (x−2)(x−s+x−t)=0\displaystyle (x-2) (x-s+x-t) = 0이다.

그런데 X={2,k}\displaystyle X= \left\{ 2, k \right\}이므로 k=s+t2\displaystyle k= \frac{s+t}{2}이다.

+3점 · k=112\displaystyle k=\frac{11}2임을 보였으면

한편, f(x)g(x)=0\displaystyle f(x)g(x)=0이므로 (x−2)(x−s)(x−2)(x−t)=0\displaystyle (x-2)(x-s)(x-2)(x-t)=0이고 Y={2,3,8}\displaystyle Y = \left\{2,3,8 \right\}이므로 s+t=3+8=11\displaystyle s+t = 3+8 = 11이다. 그러므로 k=112\displaystyle k= \frac{11}{2}이다.

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