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자연계열 2번

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광운대 2023학년도 수시 2교시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kw/2023su_2/jayeon_2

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문제

[문제 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리좌표평면 위의 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)\displaystyle \mathrm{A} \left (x_{1},~ y_{1} \right ),~ \mathrm{B} \left (x_{2},~ y_{2} \right )사이의 거리는

AB‾=(x1−x2)2+(y1−y2)2\displaystyle \overline{AB}=\sqrt { \left (x_{1}-x_{2} \right )^{2}+ \left (y_{1}-y_{2} \right )^{2}}

2. 이산확률변수의 기댓값

이산확률변수 X\displaystyle X의 확률분포가 P(X=xi)=pi(i=1, 2, 3, ⋯ , n)\displaystyle \mathrm{P} \left (X=x_{i} \right )=p_{i}(i=1,~2,~3,~ \cdots ,~ n)일 때, X\displaystyle X의 기댓값은

E(X)=x1p1+x2p2+x3p3+⋯+xnpn\displaystyle \mathrm{E}(X)=x_{1} p_{1}+x_{2} p_{2}+x_{3} p_{3}+\cdots +x_{n} p_{n}

3. 나머지정리

x\displaystyle x에 대한 다항식 P(x)\displaystyle P(x)를 일차식 x−α\displaystyle x-\alpha로 나누었을 때의 나머지를 R\displaystyle R라고 하면

R=P(α)\displaystyle R=P(\alpha )

[1] 함수 f(x)=log⁡∣a−2∣(x2+2ax+4a+5)\displaystyle f(x)= {\log } _{|a-2|} \left (x^{2}+2 a x+4 a+5 \right )에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, a\displaystyle a는 실수)

(1) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 정의되기 위한 실수 a\displaystyle a의 값 중 정수를 모두 구하시오. [5점]

(2) x≥0\displaystyle x \ge 0에서 정의된 두 함수 g(x)=log⁡2(x2+5), h(x)=x\displaystyle g(x)= {\log } _{2} \left (x^{2}+5 \right ),~ h(x)=\sqrt {x}라고 할 때, (g∘h)−1(x)>62x\displaystyle (g \circ h)^{-1}(x)>\frac{6}{2^{x}}를 만족하는 x\displaystyle x값의 범위를 구하시오. [8점]

[2] 극한값 lim⁡n → ∞n13{(n2+n)13−(n2+1)13}\displaystyle \lim _{n ~\to~ \infty } n^{\frac{1}{3}} \left\{ \left (n^{2}+n \right )^{\frac{1}{3}}- \left (n^{2}+1 \right )^{\frac{1}{3}} \right\}을 구하시오. [8점]

[3] 자연수 n\displaystyle n에 대하여 x+y=n(x≥0, y≥0)\displaystyle x+y=n(x \ge 0,~ y \ge 0)를 만족시키고, 점 (x, y)\displaystyle (x,~ y)의 x\displaystyle x좌표와 y\displaystyle y좌표가 모두 정수인 점들의 집합을 An\displaystyle A_{n}이라고 하자. 집합 An\displaystyle A_{n}에서 임의로 택한 한 점과 원점과의 거리의 제곱을 확률변수 Xn\displaystyle X_{n}이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 집합 An\displaystyle A_{n}에서 임의로 택한 한 점의 x\displaystyle x좌표가 k\displaystyle k일 때, 이 점과 원점과의 거리의 제곱을 구하시오. [4점]

(2) 확률변수 Xn\displaystyle X_{n}의 기댓값을 구하시오. [8점]

[4] 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 다항식 f(x)\displaystyle f(x)는 아래 조건을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.

x{f′(x)+x}{f′(x)−x}=f(x)+px3+qx2\displaystyle x\{f^{\prime}(x)+x\}\{f^{\prime}(x)-x\}=f(x)+px^3+qx^2 (p,q\displaystyle p,q는 실수)

(1) 위 조건을 만족시키는 일차 이상의 다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 구하고, 이때 실수 p, q\displaystyle p,~ q의 값 또는 p, q\displaystyle p,~ q에 대한 관계식을 구하시오. [12점]

(2) p=0\displaystyle p=0일 때, (1)에서 구한 각각의 다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 일차식 x−2023\displaystyle x-2023으로 나눈 나머지들의 합을 구하시오. [5점]

해설강의 준비중

광운대 2023학년도 수시 2교시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kw/2023su_2/jayeon_2

+2점 · 진수의 조건에서 −1<a<5\displaystyle -1<a<5를 구하면

[1]

(1) 진수의 조건에서 x2+2ax+4a+5>0\displaystyle x^{2}+2 a x+4 a+5>0이므로

판별식 D=4a2−4(4a+5)=4a2−16a−20=4(a+1)(a−5)<0\displaystyle D=4 a^{2}-4(4 a+5)=4 a^{2}-16 a-20=4(a+1)(a-5)<0에서 −1<a<5 ⋯⋯\displaystyle -1<a<5 ~ \cdots \cdots①

+2점 · 밑의 조건에서 a≠1, a≠2, a≠3\displaystyle a\ne1,~a\ne2,~a\ne3을 구하면

밑의 조건에서 ∣a−2∣>0, ∣a−2∣≠1\displaystyle |a-2|>0,~|a-2| \ne 1이므로 a≠1, a≠2, a≠3\displaystyle a \ne 1,~ a \ne 2,~ a \ne 3 ⋯⋯\displaystyle \cdots \cdots②

+1점 · 두 조건을 만족하는 정수 a=0\displaystyle a=0 또는 a=4\displaystyle a=4를 구하면

①과 ②에서 a=0\displaystyle a=0또는 a=4\displaystyle a=4

+2점 · 합성함수 (g∘h)(x)=log⁡2(x+5)\displaystyle (g\circ h)(x)=\log_2(x+5)를 구하면
+3점 · 역함수 (g∘h)−1(x)=2x−5\displaystyle (g\circ h)^{-1}(x)=2^x-5를 구하면

(2) (g∘h)(x)=g(h(x))=g(x)=log⁡2(x+5)\displaystyle (g\circ h)(x)=g(h(x))=g(\sqrt x)=\log_2(x+5)에서(g∘h)−1(x)=2x−5\displaystyle (g\circ h)^{-1}(x)=2^x-5

+3점 · 부등식을 풀어 x>log⁡26\displaystyle x>\log_26을 구하면

2x−5>6×2−x\displaystyle 2^x-5>6\times2^{-x}에서 2x=X\displaystyle 2^x=X라 하면X2−5X−6=(X+1)(X−6)>0\displaystyle X^2-5X-6=(X+1)(X-6)>0이므로 X<−1\displaystyle X<-1 또는 X>6\displaystyle X>6

X>0\displaystyle X>0이므로 X=2x>6\displaystyle X=2^x>6에서 x>log⁡26\displaystyle x>\log_26

+3점 · 3차 항등식 a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)을 이용하여 식을 전개하면

[2]

실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)임을 이용하여 극한값을 구하면

+5점 · 극한값 lim⁡n→∞n13{(n2+n)13−(n2+1)13}=13\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{\frac13}\{(n^2+n)^{\frac13}-(n^2+1)^{\frac13}\}=\dfrac13을 구하면

lim⁡n→∞n13{(n2+n)13−(n2+1)13}=lim⁡n→∞n13(n−1)(n2+n)23+(n2+n)13(n2+1)13+(n2+1)23=lim⁡n→∞1−1n(1+1n)23+(1+1n)13(1+1n2)13+(1+1n2)23=13\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}n^{\frac13}\{(n^2+n)^{\frac13}-(n^2+1)^{\frac13}\}&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^{\frac13}(n-1)}{(n^2+n)^{\frac23}+(n^2+n)^{\frac13}(n^2+1)^{\frac13}+(n^2+1)^{\frac23}}\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-\dfrac1n}{(1+\frac1n)^{\frac23}+(1+\frac1n)^{\frac13}(1+\frac1{n^2})^{\frac13}+(1+\frac1{n^2})^{\frac23}}=\dfrac13\end{aligned}

+2점 · 점의 좌표 (k,n−k)\displaystyle (k,n-k)를 구하면

[3]

(1) x+y=n\displaystyle x+y=n이므로 x=k\displaystyle x=k이면 y=n−k\displaystyle y=n-k

따라서 점의 좌표는 (x, n−k)\displaystyle (x,~ n-k)

+2점 · 원점과의 거리의 제곱 2k2−2nk+n2\displaystyle 2k^2-2nk+n^2을 구하면

원점에서 점 (k, n−k)\displaystyle (k,~ n-k)까지 거리의 제곱은 k2+(n−k)2=2k2−2nk+n2\displaystyle k^{2}+(n-k)^{2}=2 k^{2}-2 n k+n^{2}

+3점 · 확률변수 Xn\displaystyle X_n의 확률 1n+1\displaystyle \dfrac1{n+1}을 구하면

Comment. 각 격자점이 선택될 확률은 1/(n+1)이다. 확률변수 Xₙ은 격자점 (k,n−k)와 원점 사이의 거리의 제곱이므로 (k,n−k)와 (n−k,k)는 같은 값을 준다. 서로 다른 두 점이 주는 값의 확률은 2/(n+1)이다. n이 짝수일 때 중앙점은 하나뿐이므로 Xₙ=n²/2일 확률은 1/(n+1)이다. 대학은 격자점별로 합해 기댓값을 옳게 구했다.

(2) 집합 An\displaystyle A_{n}의 원소의 개수는 n+1\displaystyle n+1이고, 각 점이 선택될 확률은 모두 1n+1\displaystyle \frac{1}{n+1}로 같으므로

+2점 · 기댓값 E(Xn)\displaystyle \mathrm E(X_n)의 식을 구하면
+3점 · 기댓값 E(Xn)=n(2n+1)3\displaystyle \mathrm E(X_n)=\dfrac{n(2n+1)}3을 구하면

기댓값 E(Xn)=1n+1∑k=0n(2k2−2nk+n2)=n2n+1+1n+1∑k=1n(2k2−2nk+n2)=n2n+1+1n+1{2×n(n+1)(2n+1)6−2nn(n+1)2+n3}=n(2n+1)3\displaystyle \begin{aligned}\mathrm E(X_n)&=\dfrac1{n+1}\sum_{k=0}^n(2k^2-2nk+n^2)=\dfrac{n^2}{n+1}+\dfrac1{n+1}\sum_{k=1}^n(2k^2-2nk+n^2)\\&=\dfrac{n^2}{n+1}+\dfrac1{n+1}\left\{2\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6-2n\dfrac{n(n+1)}2+n^3\right\}=\dfrac{n(2n+1)}3\end{aligned}

+3점 · 다항식 f(x)\displaystyle f(x)의 차수의 조건을 구하면

[4]

(1) f(x)\displaystyle f(x)를 n\displaystyle n차 다항식이라고 하자. (단, n≥1\displaystyle n \ge 1)

n≥3\displaystyle n \ge 3이면 조건식 좌변의 차수는 2n−1\displaystyle 2 n-1, 우변의 차수는 n\displaystyle n으로 좌변과 우변의 차수는 같지않다. 따라서 f(x)\displaystyle f(x)는 3\displaystyle 3차 이상의 다항식이 아니다.

+4점 · f(x)\displaystyle f(x)가 1차식일 때 p,q\displaystyle p,q의 값과 f(x)\displaystyle f(x)를 구하면

(i) f(x)=ax+b(a≠0)\displaystyle f(x)=a x+b(a \ne 0)라고 하고 조건식에 대입하면 x(a2−x2)=ax+b+px3+qx2\displaystyle x \left (a^{2}-x^{2} \right )=a x+b+p x^{3}+q x^{2}계수를 비교하면 p=−1, q=0, a2=a, b=0\displaystyle p=-1,~ q=0,~ a^{2}=a,~ b=0여기서 a(a−1)=0\displaystyle a(a-1)=0이고 a≠0\displaystyle a \ne 0이므로 a=1\displaystyle a=1따라서

p=−1, q=0\displaystyle p=-1,~ q=0이고 f(x)=x\displaystyle f(x)=x

+5점 · f(x)\displaystyle f(x)가 2차식일 때 p,q\displaystyle p,q의 관계식과 f(x)\displaystyle f(x)를 구하면

(ii) f(x)=rx2+sx+t(r≠0)\displaystyle f(x)=r x^{2}+s x+t(r \ne 0)라고 하고 조건식에 대입하면

(4r2−1)x3+4rsx2+s2x=px3+(q+r)x2+sx+t\displaystyle \left (4 r^{2}-1 \right ) x^{3}+4 r s x^{2}+s^{2} x=p x^{3}+(q+r) x^{2}+s x+t

계수를 비교하면 4r2−1=p, 4rs=q+rs2=s, t=0\displaystyle 4 r^{2}-1=p,~ 4 r s=q+r\quad s^{2}=s,~ t=0여기서 s(s−1)=0\displaystyle s(s-1)=0이므로 s=0, 1\displaystyle s=0,~1

① s=0\displaystyle s=0이면 r=−q(q≠0),  p=4q2−1\displaystyle r=-q(q \ne 0),~ ~ p=4 q^{2}-1 따라서 p=4q2−1 (q≠0), f(x)=−qx2\displaystyle p=4 q^{2}-1 ~(q \ne 0),~ f(x)=-q x^{2}

② s=1\displaystyle s=1이면 r=q3(q≠0),  p=49q2−1\displaystyle r=\frac{q}{3}(q \ne 0),~ ~ p=\frac{4}{9} q^{2}-1 따라서 p=49q2−1 (q≠0), f(x)=q3x2+x\displaystyle p=\frac{4}{9} q^{2}-1 ~(q \ne 0),~ f(x)=\frac{q}{3} x^{2}+x

+2점 · p=0\displaystyle p=0일 때 다항식 f(x)\displaystyle f(x)를 모두 구하면

(2) (1)의 결과에 따라

p=4q2−1 (q≠0), f(x)=−qx2\displaystyle p=4q^2-1~(q\ne0),~f(x)=-qx^2 ⋯⋯①

p=49q2−1 (q≠0), f(x)=q3x2+x\displaystyle p=\frac{4}{9} q^{2}-1 ~(q \ne 0),~ f(x)=\frac{q}{3} x^{2}+x ⋯⋯\displaystyle \cdots \cdots②

p=0\displaystyle p=0을 대입하면 ①과 ②로부터 각각

q=±12,  f1(x)=−12x2, f2(x)=12x2\displaystyle q= ± \frac{1}{2},~ ~ f_{1}(x)=-\frac{1}{2} x^{2},~ f_{2}(x)=\frac{1}{2} x^{2}

q=±32,  f3(x)=12x2+x, f4(x)=−12x2+x\displaystyle q= ± \frac{3}{2},~ ~ f_{3}(x)=\frac{1}{2} x^{2}+x,~ f_{4}(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+x

+3점 · 나머지정리를 이용하여 나머지들의 합 ∑i=14fi(2023)=4046\displaystyle\sum_{i=1}^4f_i(2023)=4046을 구하면

나머지정리를 적용하면 ∑i=14fi(2023)=4046\displaystyle \sum _{i=1}^{4} f_{i}(2023)=4046

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