자연계열 2번

[1] (1) 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 $\displaystyle a_{n}$과 $\displaystyle b_{n} \sqrt {3}$은 다음 이차방정식의 두 근이다.

$\displaystyle x^{2}-(2+\sqrt {3})^{n} x+\frac{1}{4} \left\{(2+\sqrt {3})^{n}+(2-\sqrt {3})^{n} \right\} \left\{(2+\sqrt {3})^{n}-(2-\sqrt {3})^{n} \right\}=0$

이 식을 인수분해하면 $\displaystyle \left\{x-\frac{(2+\sqrt {3})^{n}+(2-\sqrt {3})^{n}}{2} \right\} \left\{x-\frac{(2+\sqrt {3})^{n}-(2-\sqrt {3})^{n}}{2} \right\}=0$

$\displaystyle a_{1}=2$이므로 $\displaystyle a_{n}=\frac{(2+\sqrt {3})^{n}+(2-\sqrt {3})^{n}}{2},~ b_{n} \sqrt {3}=\frac{(2+\sqrt {3})^{n}-(2-\sqrt {3})^{n}}{2}$Caution. 몇 가지 경우를 확인한 것만으로 일반적인 결론이 증명되지는 않는다: $\displaystyle a_1=2$는 첫 항의 근 선택만 정해 줄 뿐, 이후 각 항에서 어느 근을 $\displaystyle a_n$으로 택할지는 정해 주지 않는다. 예를 들어 $\displaystyle n=2$에서는 $\displaystyle (a_2,b_2)=(7,4)$뿐 아니라 $\displaystyle (a_2,b_2)=(4\sqrt3,7/\sqrt3)$도 문제의 조건을 만족한다. 모든 $\displaystyle n\ge2$에서 대학 답안의 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle \sqrt3 b_n$의 역할을 맞바꾸어도 주어진 조건을 만족하므로, 제시한 일반식과 (2)의 극한값이 조건만으로 유일하게 정해지는 것은 아니다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2} \left\{(2+\sqrt {3})^{n}+(2-\sqrt {3})^{n} \right\},~ b_{n}=\frac{1}{2 \sqrt {3}} \left\{(2+\sqrt {3})^{n}-(2-\sqrt {3})^{n} \right\}$

(2) (1)에서 $\displaystyle a_{n}-b_{n} \sqrt {3}=(2-\sqrt {3})^{n}$이므로 $\displaystyle a_{n}^{2}-3 b_{n}^{2}= \left (a_{n}+b_{n} \sqrt {3} \right ) \left (a_{n}-b_{n} \sqrt {3} \right )=(2+\sqrt {3})^{n}(2-\sqrt {3})^{n}=1$

$\displaystyle \left |\frac{2-\sqrt {3}}{2+\sqrt {3}} \right |<1$이므로 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } \left (\frac{2-\sqrt {3}}{2+\sqrt {3}} \right )^{n}=0$

따라서 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } \frac{b_{n} \left (a_{n}^{2}-3 b_{n}^{2} \right )}{a_{n}}=\lim _{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt {3}} \frac{1- \left (\frac{2-\sqrt {3}}{2+\sqrt {3}} \right )^{n}}{1+ \left (\frac{2-\sqrt {3}}{2+\sqrt {3}} \right )^{n}}=\frac{1}{\sqrt {3}}=\frac{\sqrt {3}}{3}$

[2] 문제에서 $\displaystyle f(x)+\int_{0}^{x} f(t) d t=x- \cos x+\frac{3}{2}$ ⋯⋯①

식 ①의 양변을 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)=1+ \sin x$

이 식의 양변에 $\displaystyle e^{x}$를 곱하면 $\displaystyle e^{x} \left\{f^{\prime}(x)+f(x) \right\}=e^{x}(1+ \sin x)$ ⋯⋯②

$\displaystyle \left\{e^{x} f(x) \right\}^{\prime}=e^{x} f^{\prime}(x)+e^{x} f(x)$이므로 식 ②의 양변을 적분하면

$\displaystyle e^{x} f(x)=\int \left (e^{x}+e^{x} \sin x \right ) d x=e^{x}+\int e^{x} \sin x d x$ ⋯⋯③

부분적분법에 의하여 $\displaystyle \int e^{x} \sin x d x=e^{x} \sin x-\int e^{x} \cos x d x=e^{x} \sin x- \left (e^{x} \cos x+\int e^{x} \sin x d x \right )$

이므로 $\displaystyle \int e^{x} \sin x d x=\frac{1}{2} e^{x}( \sin x- \cos x)+C$

③에서 $\displaystyle e^{x} f(x)=e^{x}+\frac{1}{2} e^{x}( \sin x- \cos x)+C$ ⋯⋯④

식 ①의 양변에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle C=0$

그러므로 ④에서 $\displaystyle e^{x} f(x)=e^{x}+\frac{1}{2} e^{x}( \sin x- \cos x)$이고 $\displaystyle e^{x}>0$이므로

$\displaystyle f(x)=1+\dfrac12\sin x-\dfrac12\cos x$

방정식 $\displaystyle f(x)-1=0$으로부터 $\displaystyle \sin x=\cos x$$\displaystyle 0\le x<2\pi$에서 방정식의 근은 $\displaystyle x=\dfrac\pi4,~\dfrac{5\pi}4$

[3] (1) $\displaystyle \dfrac d{dx}\{f(x)\}^2=2f(x)f^{\prime}(x)$이므로

$\displaystyle \int_{0}^{x} 2 f(t) f^{\prime}(t) d t=\int_{0}^{x} \frac{d}{d t} \left\{f(t) \right\}^{2} d t= \Biggl[ \left\{f(t) \right\}^{2} \Biggr]_{0}^{x}= \left\{f(x) \right\}^{2}- \left\{f(0) \right\}^{2}= \left\{f(x) \right\}^{2}-1$

(2) (1)에서 $\displaystyle \int_{0}^{x} 2 f(t) f^{\prime}(t) d t= \left\{f(x) \right\}^{2}-1$

조건 (다)로부터 $\displaystyle \int_{0}^{x} 2 f(t) f^{\prime}(t) d t \le \int_{0}^{x} \left\{f(t) \right\}^{2} d t$ ⋯⋯①

조건 (나)의 부등식의 양변에 $\displaystyle f(x)$를 곱하면 $\displaystyle f(x)>0$이므로 $\displaystyle \left\{f(x) \right\}^{2} \le 2 f(x) f^{\prime}(x)$

양변을 적분하면 $\displaystyle \int_{0}^{x} \left\{f(t) \right\}^{2} d t \le \int_{0}^{x} 2 f(t) f^{\prime}(t) d t$ ⋯⋯②Caution. 정적분의 부등식을 사용할 때는 적분의 아래끝과 위끝의 순서를 확인해야 한다: 조건 (나)에서 얻은 부등식을 $\displaystyle 0$부터 $\displaystyle x$까지 적분할 때, $\displaystyle x<0$이면 부등호의 방향이 바뀐다. 대학 예시답안의 ②를 이 방법으로 얻을 수 있는 범위는 $\displaystyle x\ge0$이다. 주어진 조건으로 $\displaystyle f(x)=e^{x/2}$가 정해지는 범위도 $\displaystyle x\ge0$이며, 음수 구간에서는 함수가 유일하게 정해지지 않는다. 예를 들어 $\displaystyle x<0$에서는 $\displaystyle f(x)=e^{x/2-x^2}$, $\displaystyle x\ge0$에서는 $\displaystyle f(x)=e^{x/2}$로 정한 함수도 모든 조건을 만족한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

①, ②로부터 $\displaystyle \int_{0}^{x} \left\{f(t) \right\}^{2} d t=\int_{0}^{x} 2 f(t) f^{\prime}(t) d t$

양변을 미분하면 정적분과 미분의 관계로부터 $\displaystyle \left\{f(x) \right\}^{2}=2 f(x) f^{\prime}(x)$

$\displaystyle f(x)>0$이므로 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}$이고, 양변을 적분하면 $\displaystyle \ln f(x)=\frac{1}{2} x+C$

조건 (가)로부터 $\displaystyle f(0)=1$이므로 $\displaystyle C=0$

따라서 $\displaystyle \ln f(x)=\frac{1}{2} x$이고 $\displaystyle f(x)=e^{\frac{x}{2}}$