자연계열 1번

(ⅰ) $\displaystyle n=4$일 때 (좌변)$\displaystyle =4!=24\ge4^2=16=$(우변)이므로 부등식 ①이 성립한다.

(ⅱ) $\displaystyle n=k\,(k\ge4)$일 때 부등식 ①이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle k!\ge k^2$ ⋯…②부등식 ②의 양변에 $\displaystyle k+1$을 곱하면 $\displaystyle (k+1)!\ge k^2(k+1)$ ⋯…③$\displaystyle k\ge4$이면 $\displaystyle k(k-1)\ge12$이므로 $\displaystyle k^2\ge k+1$이다.부등식 ③에서 $\displaystyle (k+1)!\ge k^2(k+1)\ge(k+1)^2$따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때도 부등식 ①이 성립한다.그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 따라 $\displaystyle n\ge4$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에서 $\displaystyle n!\ge n^2$이 성립한다.

[2]$\displaystyle \sin x$와 $\displaystyle x$의 크기를 비교하기 위해 $\displaystyle g(x)=x-\sin x$로 놓으면,$\displaystyle g^{\prime}(x)=1-\cos x\ge0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 증가하고 $\displaystyle g(0)=0$이므로$\displaystyle x<0$일 때 $\displaystyle x<\sin x$이고 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle \sin x<x$이다.그러므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle |\sin x|\le|x|$ ⋯…①

함수 $\displaystyle f(x)=x^2+2\cos x$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2(x-\sin x)$①에서 $\displaystyle x<0$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2},0\right]$에서 감소하고$\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 증가한다.

따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 최소이고, 최솟값은 $\displaystyle f(0)=2$,

$\displaystyle f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^2}{4}<f(\pi)$이므로 $\displaystyle x=\pi$에서 최대이고, 최댓값은 $\displaystyle f(\pi)=\pi^2-2$

[3]$\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$로 놓으면조건 (가)에서 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle d=0$$\displaystyle f(-x)=-ax^3+bx^2-cx$이므로 조건 (나)로부터 $\displaystyle 2ax^3+2cx=0$따라서 $\displaystyle a=c=0$이므로 $\displaystyle f(x)=bx^2$ ($\displaystyle b\ne0$) 즉, $\displaystyle f(x)$는 이차항만 가지는 함수이다.($\displaystyle b=0$이면 조건 (다)를 만족시키지 않는다)

조건 (다)의 정적분을 구하기 위해 $\displaystyle bx^2=t$로 놓으면 $\displaystyle 2bx\frac{dx}{dt}=1$이므로$\displaystyle \int_0^1 xe^{bx^2}dx=\int_0^b\frac{1}{2b}e^t dt=\frac{1}{2b}(e^b-1)$

조건 (다)로부터 $\displaystyle \frac{1}{2b}(e^b-1)=\frac{e^2-1}{4}$이므로 $\displaystyle b=2$Caution. $\displaystyle F(b)=\int_0^1 xe^{bx^2}\,dx$라 하면, $\displaystyle b_1<b_2$일 때 $\displaystyle 0<x\le1$에서 $\displaystyle xe^{b_1x^2}<xe^{b_2x^2}$이므로 $\displaystyle F(b_1)<F(b_2)$이다. 따라서 $\displaystyle F$는 실수 전체에서 증가하고, $\displaystyle F(2)=\frac{e^2-1}4$이므로 조건 (다)를 만족시키는 $\displaystyle b$는 $\displaystyle 2$뿐이다.따라서 $\displaystyle f(x)=2x^2$

[4]$\displaystyle \frac{ax+2}{x}+\frac{bx+b-2}{x+1}=\frac{a^2+b^2-1}{x(x+1)}+2$식의 양변에 $\displaystyle x(x+1)$을 곱하여 내림차순으로 정리하면$\displaystyle (a+b)x^2+(a+b)x+2=2x^2+2x+a^2+b^2-1$

이므로 $\displaystyle a+b=2,a^2+b^2=3$

$\displaystyle (a+b)^2=a^2+b^2+2ab$이므로 $\displaystyle ab=\frac{1}{2}$

$\displaystyle a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=5$이므로$\displaystyle a^5+b^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)=\frac{29}{2}$

(ⅰ) $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A)=10^{-2}\times0.99=\frac{99}{10000}$

(ⅱ) $\displaystyle \mathrm{P}(A^C\cap B)=\mathrm{P}(A^C)\mathrm{P}(B|A^C)=(1-10^{-2})\times0.02=\frac{198}{10000}$

즉, $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(A^C\cap B)=\frac{297}{10000}$

따라서 양성판정을 받았을 때 병에 걸렸을 확률은$\displaystyle \mathrm{P}(A|B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}=\frac{99}{297}=\frac{1}{3}$