자연계열 1번

[가] ① 서양에서는 유클리드 『원론(Elements)』이 $\displaystyle 2000$년 이상 수학의 기본으로 여겨지듯 동양에서는 유희의 『구장산술(九章算術)』이 수학의 기본으로 알려져 있다. 『구장산술』에 버금가는 『산수서』는 “넓이가 $\displaystyle 240$인 정사각형의 한 변을 구하는 문제”의 근사값을 $\displaystyle 15\frac{15}{31}$로 제시하고 있다. 이 문제는 제곱근 또는 세제곱근이 딱 떨어지지 않는 경우이다. 구하는 과정은 $\displaystyle 16^2 -240= 16$이고 $\displaystyle 240- 15^2 =15$을 이용하여 근사값을 구하는 것이다. 이는 이차방정식 $\displaystyle x^2 -240 =0$을 풀 때, 실제로 이차함수 $\displaystyle y=x^2 -240$의 그래프 위의 두 점 $\displaystyle (15, -15)$, $\displaystyle (16, 16)$을 지나는 직선 $\displaystyle y= 31 x -480$을 위의 포물선의 $\displaystyle 1$차 근사직선으로 보아, $\displaystyle 31x =480$을 푼 것이다. 이 방법과 같이 방정식의 근사값을 구하는 것을 1차 보간법이라 한다. 함수의 그래프는 전혀 모르는 고대수학자들이 어떻게 이 방법을 사용하였는지 알 수 없다.

「수학과 문화」

② 『구장산술』에서는 제곱근을 구하는 방법을 ‘개방술(開方術)’이라 하여 제$\displaystyle 4$권에서 세제곱근을 구하는 개입방술과 함께 다루고 있다. 개방술은 어떤 수의 제곱근이 ‘$\displaystyle \mathrm{A}$백$\displaystyle \mathrm{B}$십$\displaystyle \mathrm{C}$’ (식으로 나타내면 $\displaystyle 100A+10B +C$)라고 추측하고 $\displaystyle A,B,C$를 구하거나 방정식의 근사해를 이용하는 식으로 제곱근을 구한다. 이 방법은 $\displaystyle 11$세기 중국에서 일반화되어 증승개방법(增乘開方法)으로 새롭게 태어난다. 증승개방법은 말 그대로 ‘더하고 곱하기’를 반복함으로써 다항방정식의 근사해를 구하는 것으로 조립제법의 원리와 똑같다.

「산학서로 보는 조선수학」

③ 숙종 때 홍정하(洪正夏·1684~?)가 저술한 조선의 산학서 『구일집(九一集)』은 내용의 체제, 수준, 분량으로 볼 때, 얼마 남아 있지 않은 조선 시대 산학서 가운데 대표적인 수작으로 손꼽힌다. 천·지·인 $\displaystyle 3$책을 통틀어 총 $\displaystyle 9$권으로 이루어져 있으며 특히, 제$\displaystyle 6$권 제$\displaystyle 2$문에는 해의 근사값을 구하는 문제를 조립제법을 이용하여 그 해를 구하였다.

「구일집 상하」

④ 서울대 전용훈 연구원은 $\displaystyle 19$세기 초 유학자 홍길주(洪吉周·1786~1841)가 나눗셈과 뺄셈만으로 제곱근을 구했다는 사실을 ‘과학사’ 분야의 권위지 ‘사이언스 인 콘텍스트’($\displaystyle 2006$년 $\displaystyle 2$월호)에 소개했다. 홍길주는 제곱근과 방정식에 대한 수준 높은 조선수학의 전통 아래서 기존 방법과 완전히 다른 새로운 제곱근 풀이법을 고안해 냈다. 그의 풀이법은 아래 그림 (b)와 같다.

전 연구원은 “이런 계산법은 제곱근이 $\displaystyle 2.449\cdots$처럼 소수로 나오는 $\displaystyle 6$과 같은 수에도 적용할 수 있을 정도로 응용하기 좋다.”고 아래 그림(c)와 같이 설명한다. 홍길주의 방법은 처음 수를 $\displaystyle 2$로 나누는 과정과 끝에 남은 수를 $\displaystyle 2$배 하는 과정만 제외하면, 자연수를 순서대로 빼기만 하면 된다. 홍길주의 제곱근 풀이법은 초등학생도 할 수 있을 만큼 쉬운 방법이다.

「동아일보」

[나] 임의의 함수 $\displaystyle f$가 한 점 $\displaystyle x_0$에서 미분가능이란 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$이 존재할 때이며, 이것을 $\displaystyle f^{\prime}(x_0)$라 쓴다. 함수 $\displaystyle y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$는 $\displaystyle x=x_0$에서 함수 $\displaystyle f$의 선형근사식 또는 접선의 방정식이다.

「고등학교 수학」

[다] 기원전 1500년 이전 메소포타미아 시대에는 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 근사해를 구하는 방법으로 점화식을 이용하였다. 예를 들어 $\displaystyle x^2=2$의 해 즉 $\displaystyle x=\sqrt2$를 구하는 방법으로 점화식 $\displaystyle x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac2{x_n}\right)$, $\displaystyle n=0,1,2,\cdots$ ($\displaystyle x_0$는 임의의 값)을 이용하는 것이다.

「고등학교 수학」