자연계열 1번

[가] 남쪽으로 3km 걸어간 후, 서쪽으로 2km 걸어간 다음 다시 북쪽으로 3km 걸어가서 원래 출발한 지점으로 돌아간다면, 이 출발점은 지구상에서 어디인지 결정할 수 있다. 그리고 이 여행의 자취를 지구 위에 그리면 구면에 삼각형이 그려지는데, 이 삼각형 내각의 합은 180도보다 크다. 이는 평면에 그려진 삼각형과는 완전히 다른 성질이다. 이런 삼각형을 구면 삼각형이라 부른다. 구면기하학에서는 대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구면의 교점이 이루는 원이다. 구면상의 두 점 사이의 최단 거리는 대원을 따라 측정한다. (중략)

고대의 바빌로니아, 이집트, 중국 등에서도 토지의 측량, 점성술, 천문학과 같은 실용적인 필요성에 의해서 삼각법을 이용한 기록을 엿볼 수 있으나 삼각법의 창시자는 그리스의 천문학자 히파르쿠스(Hipparchus)이다. 그는 구면 위의 내각의 크기와 두 점 사이의 거리를 측정할 필요를 느껴서 구면 삼각법에 관한 많은 연구를 하였다.

반지름이 1인 구면상의 내각 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$와 대변 a, b, c를 가지는 삼각형 ABC에 대하여 그는 다음과 같은 구면 사인법칙, 코사인법칙을 발견하였다.

$\displaystyle \frac{\sin a}{\sin\alpha}=\frac{\sin b}{\sin\beta}=\frac{\sin c}{\sin\gamma}$

$\displaystyle \begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos\alpha\\\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos\beta\\\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos\gamma\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\cos\alpha&=-\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma\cos a\\\cos\beta&=-\cos\gamma\cos\alpha+\sin\gamma\sin\alpha\cos b\\\cos\gamma&=-\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos c\end{aligned}$

여기서, 내각 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$와 대변 a, b, c는 모두 라디안(radian)을 단위로 사용하는 호도법을 이용한다.

- 『이야기로 쉽게 배우는 삼각함수』-

[나] 집합 $\displaystyle A$의 원소의 개수를 $\displaystyle n(A)$로 나타낸다. 두 집합 A, B의 합집합의 원소의 개수는

$\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$.

세 집합 A, B, C의 합집합의 원소의 개수는

$\displaystyle n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$.

이 법칙은 집합의 수가 3개 이상 있어도 확장이 가능하며 이를 ‘포함과 배제의 원리’라 한다.

- 고등학교 『수학』-