자연계열 1번

상수 $\displaystyle a$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=\sin x-a$는 주기가 $\displaystyle 2\pi$이므로$\displaystyle \int_{0}^{3\pi}|f(x)|\,dx=2\int_{0}^{\pi}|f(x)|\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}|f(x)|\,dx$이다.

$\displaystyle 0 \leq a \leq 1$이므로구간 $\displaystyle \left[0,\ \frac{\pi}{2}\right]$에서 곡선 $\displaystyle y=\sin x$와 직선 $\displaystyle y=a$의 교점은 하나만 존재한다.교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \theta$라 하면 $\displaystyle \sin\theta=a$이다.두 구간 $\displaystyle [0,\ \theta]$와 $\displaystyle [\pi-\theta,\ \pi]$에서 $\displaystyle f(x)\leq 0$이고,구간 $\displaystyle [\theta,\ \pi-\theta]$에서 $\displaystyle f(x)\geq 0$이므로

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}|f(x)|\,dx=\int_{0}^{\theta}(\sin\theta-\sin x)\,dx+\int_{\theta}^{\pi-\theta}(\sin x-\sin\theta)\,dx+\int_{\pi-\theta}^{\pi}(\sin\theta-\sin x)\,dx$$\displaystyle \hphantom{\int_{0}^{\pi}|f(x)|\,dx}=(4\theta-\pi)\sin\theta+4\cos\theta-2$이고,구간 $\displaystyle [\pi,\ 2\pi]$에서 $\displaystyle f(x)\leq 0$이므로$\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi}|f(x)|\,dx=\int_{\pi}^{2\pi}(\sin\theta-\sin x)\,dx=\pi\sin\theta+2$이다.

따라서 $\displaystyle \int_{0}^{3\pi}|f(x)|\,dx=(8\theta-\pi)\sin\theta+8\cos\theta-2$이다.$\displaystyle g(\theta)=(8\theta-\pi)\sin\theta+8\cos\theta-2$라 하면,$\displaystyle g^{\prime}(\theta)=(8\theta-\pi)\cos\theta$이고함수 $\displaystyle g(\theta)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 구간 $\displaystyle \left[0,\ \frac{\pi}{2}\right]$에서 $\displaystyle g(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{8}$일 때 최솟값을 가진다.그러므로 $\displaystyle a=\sin\frac{\pi}{8}$일 때 주어진 정적분의 최솟값은 $\displaystyle 8\cos\frac{\pi}{8}-2$이다.