자연계열 2번

타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{64}+y^{2}=1$ 위의 제1사분면의 점 $\displaystyle \left(x_{1},\,y_{1}\right)$에서의접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle x_{1}x+64y_{1}y=64$이다.직선 $\displaystyle l$과 직선 $\displaystyle y=-1$의 교점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{64\left(y_{1}+1\right)}{x_{1}},\,-1\right)$이고,직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle y$축의 교점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \left(0,\,\frac{1}{y_{1}}\right)$이다.

따라서 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle S=\frac{32\left(y_{1}+1\right)^{2}}{x_{1}y_{1}}$이다.$\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{64}+y_{1}^{2}=1$이므로 $\displaystyle S^{2}=\frac{32^{2}\left(y_{1}+1\right)^{4}}{\left(x_{1}y_{1}\right)^{2}}=\frac{16\left(y_{1}+1\right)^{3}}{\left(1-y_{1}\right)y_{1}^{2}}\ \left(0<y_{1}<1\right)$이다.

구간 $\displaystyle (0,\,1)$에서 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{16(x+1)^{3}}{(1-x)x^{2}}$라 하면

$\displaystyle f^{\prime}(x)=16\times\frac{3(x+1)^{2}\left(x^{2}-x^{3}\right)-(x+1)^{3}\left(2x-3x^{2}\right)}{(1-x)^{2}x^{4}}$$\displaystyle \hphantom{f^{\prime}(x)}=16(x+1)^{2}\times\frac{2x(2x-1)}{(1-x)^{2}x^{4}}$

이고 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 구간 $\displaystyle (0,\,1)$에서 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle f(x)$는 최솟값을 갖는다.그러므로 $\displaystyle y_{1}=\frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$의 넓이가 최소가 되고, 그 최솟값은 $\displaystyle 12\sqrt{3}$이다.