자연계열 1번

(a) $\displaystyle t=3^{x}+3^{-x}$로 치환하면 $\displaystyle t\geq 2$이고, 함수 $\displaystyle f(x)=h(t)=t^{3}-3t^{2}-9t+6+a$이다.이때 $\displaystyle h^{\prime}(t)=3(t-3)(t+1)$이고, 함수 $\displaystyle h(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle h(t)$는 $\displaystyle t=3$에서 최솟값 $\displaystyle a-21$을 갖는다.이때 $\displaystyle x$는 $\displaystyle 3^{x}+3^{-x}=3$을 만족해야 하므로 $\displaystyle x=\log_{3}\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$이다.

(b) $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle \dfrac{dt}{dx}=3^{x}\ln 3-3^{-x}\ln 3=\left(3^{x}-3^{-x}\right)\ln 3>0$이므로, $\displaystyle t=3^{x}+3^{-x}$는 $\displaystyle x\geq 0$에서 증가한다.함수 $\displaystyle y=h(t)$의 그래프가 $\displaystyle t$축과 한 점에서만 만나기 위해서는 $\displaystyle a<16$이거나 $\displaystyle a=21$이어야 한다.따라서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 $\displaystyle x$축과 한 점에서만 만나려면 $\displaystyle a<16$이거나 $\displaystyle a=21$이어야 한다.