자연계열 2번

(a) 점 $\displaystyle \mathrm{P}(\alpha,\,\beta)$를 지나는 직선 $\displaystyle y=mx+\beta-m\alpha$가 포물선과 접한다고 하자.이 접선의 방정식을 포물선의 방정식에 대입하여 얻은 이차방정식 $\displaystyle m^{2}x^{2}+2\{m(\beta-m\alpha)-2\}x+(\beta-m\alpha)^{2}=0$의 판별식이 $\displaystyle 0$이라는 조건에서 $\displaystyle \alpha m^{2}-\beta m+1=0$을 얻는다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나며 서로 다른 두 점에서 각각 접하는 두 접선의 기울기는 서로 달라야 하므로 이 $\displaystyle m$에 관한 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.따라서 $\displaystyle \beta^{2}-4\alpha>0$이어야 한다.또한 두 접선의 기울기 $\displaystyle m_{1}$과 $\displaystyle m_{2}$는 $\displaystyle m_{1}m_{2}=\dfrac{1}{\alpha}$과 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=\dfrac{\beta}{\alpha}$를 만족한다.

포물선 위의 점 $\displaystyle (x_{1},\,y_{1})$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle \dfrac{2}{y_{1}}$이므로 두 접점은 $\displaystyle \mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{m_{1}^{2}},\,\dfrac{2}{m_{1}}\right)$와 $\displaystyle \mathrm{R}\left(\dfrac{1}{m_{2}^{2}},\,\dfrac{2}{m_{2}}\right)$이고

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\left(\dfrac{1}{m_{1}^{2}}-\alpha,\,\dfrac{2}{m_{1}}-\beta\right)\cdot\left(\dfrac{1}{m_{2}^{2}}-\alpha,\,\dfrac{2}{m_{2}}-\beta\right)=4\alpha^{2}+4\alpha-\alpha\beta^{2}-\beta^{2}$이다.

(b) $\displaystyle \angle \mathrm{QPR}$가 직각이 되기 위해서는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}}=0$이어야 한다.(a)에 의하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}}=4\alpha^{2}+(4-\beta^{2})\alpha-\beta^{2}=(\alpha+1)(4\alpha-\beta^{2})=0$이다.(a)의 답안에서 $\displaystyle \beta^{2}-4\alpha>0$이므로 $\displaystyle \alpha=-1$이다.따라서 정답은 직선 $\displaystyle x=-1$ 위의 모든 점이다.