자연계열 1-b번

제시문 [1]

무게가 $\displaystyle mg=(1,200\ \mathrm{kg})(10\ \mathrm{m/s^2})=12,000\ \mathrm{N}$인 승용차가 도로 위를 달리고 있다. 타이어와 도로의 회전마찰계수 $\displaystyle \mu_r=0.016$이며, 이것은 속도에 무관한 $\displaystyle F_{\mathrm{roll}}=\mu_rmg=192\ \mathrm{N}$의 저항력으로 승용차에 작용한다. 또 다른 저항력은 속도의 제곱에 비례하는 공기저항력인데, $\displaystyle F_{\mathrm{air}}=\frac12CA\rho v^2=(0.41\ \mathrm{N\cdot s^2/m^2})v^2$으로 주어진다. 여기서 $\displaystyle A$는 전면에서 본 자동차의 단면적으로서 $\displaystyle 1.8\ \mathrm{m^2}$이고, $\displaystyle \rho$는 공기밀도(상온, 해수면 높이에서 $\displaystyle 1.2\ \mathrm{kg/m^3}$)이며, $\displaystyle C$는 움직이는 물체의 모양에 의존하는 끌림계수로서 $\displaystyle C=0.38$이다. 엔진이 바퀴에 공급하는 추진력을 $\displaystyle F_{\mathrm{forward}}$라 하면 뉴턴의 방정식은$\displaystyle F_{\mathrm{forward}}-\mu_rmg-\frac12CA\rho v^2=ma$로 주어진다. 일정한 속도로 운동하는 경우 $\displaystyle F_{\mathrm{forward}}=\mu_rmg+\frac12CA\rho v^2$이 되며, 엔진이 공급해야 하는 단위 시간당 에너지로 정의되는 일률은 $\displaystyle P(v)=F_{\mathrm{forward}}v=(\mu_rmg+\frac12CA\rho v^2)v$ 이다. 가솔린 1 리터 (1 L)에서 얻는 에너지는 약 $\displaystyle 3.6\times10^7\ \mathrm{J}$이다. 그러나 이 에너지가 모두 자동차를 추진하는데 사용되지는 않는다. 열역학의 법칙 때문에 열이 일로 변환하는 효율에 대한 기본적인 제한이 있기 때문이다. 가솔린 연소시 약 70%는 냉각기와 배기로 허비된다. 그리고 15% 정도는 자동차를 추진시키는데 아무런 영향을 미치지 않는 다른 일, 예를 들면 에어컨이나 파워 스티어링과 같은 부속물들을 작동시킬 목적으로 사용되어진다. 나머지 에너지 약 15% 정도만이 회전마찰과 공기저항을 극복하고 자동차를 전진시킨다. 따라서 자동차가 연료 1 리터당 쓸 수 있는 에너지는 $\displaystyle (0.15)\times(3.6\times10^7\ \mathrm{J/L})=5.4\times10^6\ \mathrm{J/L}$이며 1 리터의 연료로 $\displaystyle (5.4\times10^6\ \mathrm{J/L})/P(v)$ 초 동안 움직인다. 그런데 승용차의 속도는 $\displaystyle v$이므로 1 리터당 움직인 거리로 정의되는 연비는$\displaystyle M(v)=\frac{5.4\times10^6}{\mu_rmg+\frac12CA\rho v^2}$로 주어진다(단 $\displaystyle v$는 영이 아님). 예를 들면 자동차가 $\displaystyle 15\ \mathrm{m/s}$로 움직이면 연비는 약 $\displaystyle 19\ \mathrm{km/L}$이다.