자연계열 4번

(가)폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)$ 를 만족하는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다는 사실이 잘 알려져 있다. 이를 ‘적분에 관한 평균값의 정리’라고 한다. 이것은 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle f(x)\geq0$ 일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이가 밑변의 길이가 $\displaystyle b-a$이고 높이가 $\displaystyle f(c)$인 직사각형의 넓이와 같다는 것을 의미한다.

(나)1852년 물리학자 맥스웰은 기체분자의 속도분포 문제를 해결하였다. 맥스웰-볼츠만의 속도분포는 기체분자의 속도 $\displaystyle v$의 확률분포함수$\displaystyle P(v)=4\pi\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}v^{2}e^{-\frac{Mv^{2}}{2RT}}$로 주어진다. 여기서 $\displaystyle M$은 몰 질량, $\displaystyle R$은 기체상수, $\displaystyle T$는 온도이다. 예를 들어 300K에서 산소분자의 속도분포는 다음과 같다.

이 경우 산소분자의 속도가 $\displaystyle v_{1}=590\,\mathrm{m/s}$ 와 $\displaystyle v_{2}=610\,\mathrm{m/s}$ 사이의 값을 가질 확률을 구하기 위해서는 $\displaystyle \int_{v_{1}}^{v_{2}}P(v)dv$ 를 계산해야 하는데, 적분에 관한 평균값의 정리에 의해 이 적분값은 근사적으로 $\displaystyle (v_{2}-v_{1})P\left(\frac{v_{1}+v_{2}}{2}\right)$와 같다.

과학의 여러 분야에서 나타나는 함수를 작은 구간에서 적분해야 할 필요가 있을 때, 이와 같이 구간 안에서 함수의 적당한 값과 구간의 길이를 곱하여 적분값의 근사값으로 사용한다.

(다)적분에 관한 평균값의 정리로부터 도함수 $\displaystyle f^{\prime}$이 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이면 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$ 를 만족하는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다는 ‘미분에 관한 평균값의 정리’를 유도할 수 있다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 두 점 $\displaystyle A(a,f(a))$와 $\displaystyle B(b,f(b))$를 지나는 직선 $\displaystyle AB$의 기울기는 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$이고, $\displaystyle f^{\prime}(c)$는 점 $\displaystyle (c,f(c))$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 접하는 직선의 기울기이다. 따라서 미분에 관한 평균값의 정리는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선 중에 직선 $\displaystyle AB$와 평행한 것이 적어도 하나 존재한다는 것을 의미한다.

미분에 관한 평균값의 정리는 여러 가지 부등식을 증명하거나 다양한 함수의 근사값을 구하는 데 이용된다.

(라)함수 $\displaystyle f$가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$를 포함하는 개구간에서 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}$이 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$에서 점 $\displaystyle (b,f(b))$까지의 곡선의 길이는 $\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{1+\{f^{\prime}(x)\}^{2}}dx$ 이다.