인문계열 2번

문제. 네 가지 문자 A, G, C, T 로 이루어진 문자열이란 A, G, C, T, AA, AG, AC, AT, GA, GG, GC, GT, ..., CAT, ... 등과 같은 순열을 뜻한다. 이러한 문자열은 일년이 지나도 대체로 잘 보존되는데, 가끔 다음과 같이 변형되기도 한다.

(가) 문자열의 맨 앞에 A, G, C, T 중 한 문자가 추가된다.(나) 문자열의 맨 뒤에 A, G, C, T 중 한 문자가 추가된다.

따라서 가능한 변형은 문자열의 앞에 한 문자가 추가되는 것 네 가지와 뒤에 추가되는 것 네 가지로 모두 여덟 가지가 있게 된다. 그리고 변형은 일년에 많아야 한 번 일어나며 각각의 변형이 일어날 확률은 모두 $\displaystyle p$로 동일하고, 어느 해에 일어난 일이 그 다음 해에 영향을 주지 않는다고 가정하자. 처음에 A 라는 문자열로 시작하여 10년 후에 GACT 라는 문자열로 변형될 확률은 얼마인가?

풀이. 한 문자열을 10년 동안 매년 관찰하여, 아무런 변형도 일어나지 않았으면 O를, X라는 문자가 앞에 추가되는 변형이 일어났으면 X+를, 뒤에 추가되는 변형이 일어났으면 +X를 차례로 써 넣어서 아래의 표를 완성한다고 가정하자.

예컨대 A라는 문자열을 관찰해서 10년 뒤에

위와 같은 표를 얻었다면, 이 표는 A로부터 GACT에로의 문자열 변형을 나타낼 것이다. 또

위와 같은 표를 얻었다면, 이 표도 A로부터 GACT에로의 문자열 변형을 나타낼 것이다.

이제 처음에 A라는 문자열로 시작해서 10년 후에 GACT라는 문자열로 변형될 필요충분조건을 고려하면, 구하는 최종 확률은 $\displaystyle p^{3}(1-8p)^{7}\times360$ 임을 알 수 있다. 왜냐하면 10년 뒤에 GACT라는 문자열로 변형될 것을 나타내는 표에는 공통적으로 O가 7개 기록되어 있게 되는데, O가 7개 기록되어 있는 특정한 표 하나를 얻을 확률은 $\displaystyle p^{3}(1-8p)^{7}$이고, 또 이러한 GACT 문자열 변형을 나타내는 표의 개수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{P}_{3}$를 2로 나눈 것, 즉 360개이기 때문이다. 결국 구하는 확률은 이 둘을 곱한 $\displaystyle p^{3}(1-8p)^{7}\times360$ 이다.