자연계열 3번

(가)20세기 초기에 새로운 입자들의 발견에는 안개상자 실험이 중요한 역할을 하였다. 전하를 띤 입자가 안개 속을 지나갈 때 작은 물방울이 형성되면서 [그림 1]과 같은 자취를 볼 수 있다. 안개상자에 자기장을 함께 걸어 주면 전하를 띤 입자는 자기력에 의하여 원 운동을 하며, 그 반지름은 입자의 운동량에 비례한다. 한편 움직이는 입자는 안개 입자 또는 공기와 부딪혀 연속적으로 조금씩 에너지를 잃어 원 운동의 반지름은 점차 줄어든다. 입자는 나선(와선) 모양을 따라 움직이다가 결국 모든 에너지를 잃고 정지한다.

기원전 250년경 아르키메데스는 한 나선을 연구하였는데, 그것은 좌표평면 위를 움직이는 점의 좌표 $\displaystyle (x,y)$가 $\displaystyle x=\theta\cos\theta$, $\displaystyle y=\theta\sin\theta$ (단, $\displaystyle \theta$는 매개변수)로 정의되는 곡선으로서, $\displaystyle \theta\geq0$인 경우 [그림 2]와 같은 자취를 갖는다. 아르키메데스는 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능한 기하학의 문제들, 예컨대 각의 3등분 문제, 원의 넓이와 같은 정사각형을 찾는 문제 등을 이러한 나선을 사용하여 쉽게 해결할 수 있음을 보였다.

먹잇감을 향해 날아가는 독수리를 하늘 위에서 내려다보면, 독수리는 먹이를 가장 잘 관찰할 수 있는 각도를 유지하면서 날아간다. 독수리가 먹이를 가장 잘 관찰할 수 있는 방향은 날아가고 있는 방향이 아니라, 날아가는 방향에서 일정한 각도를 이루고 있다. 1638년 데카르트가 발견한 로그 나선 또한 이러한 성질을 가지고 있다. 즉, 로그 나선의 각 점에서의 접선과 그 점에서 나선의 중심을 잇는 선분이 이루는 각도는 항상 일정하다. 예를 들어, 좌표평면 위를 움직이는 점의 좌표 $\displaystyle (x,y)$가 $\displaystyle x=e^{\theta}\cos\theta$, $\displaystyle y=e^{\theta}\sin\theta$ (단, $\displaystyle \theta$는 매개변수)로 주어지는 로그 나선은 각 점에서의 접선과 그 점에서 원점까지의 선분이 이루는 각도가 항상 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이다.

(나)나선의 형태와 길이와의 관계를 알아보기 위하여 선분으로 이루어진 다각 나선을 생각해보자. [그림 3]과 같이 평면 위의 점 $\displaystyle A_{1}(0,1)$에서 시작하여 시계 방향으로 각 $\displaystyle \theta$ 만큼 회전하되 $\displaystyle y$축과 각 $\displaystyle \alpha_{1}$을 이루도록 하여 선분을 점 $\displaystyle A_{2}$까지 긋는다. 같은 방법으로 차례로 각 $\displaystyle \alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\cdots$를 이루면서 선분들이 $\displaystyle \overline{OA_{n}}\geq\overline{OA_{n+1}}$ $\displaystyle (n=1,2,\cdots)$을 만족하며 서로 겹치지 않고 점차 안 쪽 방향으로 전진해 가면서 다각 나선을 만든다. 이와 같은 다각 나선은 주어진 각의 수열 $\displaystyle \{\alpha_{n}\}$에 따라 다양한 형태로 나타난다.

(다)무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$이 수렴하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0$이다. 그러나 일반적으로 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$은 발산하고 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$은 수렴한다는 사실이 알려져 있다. 또한 모든 $\displaystyle n=1,2,\cdots$에 대하여 $\displaystyle 0<a_{n}\leq b_{n}$일 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$이 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$이 수렴한다는 것도 알려져 있다. 이 사실을 이용하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$이 수렴함을 알 수 있는데, 그 이유는 $\displaystyle \frac{1}{n!}\leq\frac{1}{2^{n-1}}$ $\displaystyle (n=1,2,\cdots)$이기 때문이다.