수리논술, 이게 다다.

자연계열 4번

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서울대 2011학년도 정시 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/snu/2011je/jayeon_4

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문제

【문항 4】

✾ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 우리 주변에서 발생하고 있는 여러 가지 현상들 중에는 과거에 일어났던 일에 영향을 받는 경우가 많이 있다. 이러한 현상을 수학적으로 표현해 보면 시간에 따른 적분에 의존하고 있음을 알 수 있다. 예컨대, 환자에게 약물을 투여하면 약물의 효과는 일정한 시간이 지난 후에야 나타나게 된다. 시간이 충분히 지난 후 약물 농도가 평형상태로 수렴하는지, 만일 수렴한다면 평형상태가 주어진 초기 조건과 시간 지연에 의해 어떻게 달라지는지를 예측하는 것은 약물의 생체 적용에 있어 중요한 문제 중 하나이다.

시간 지연에 따른 약물 농도의 변화는 수학적 모델링 과정을 통해 예측해 볼 수 있다. 투여한 약이 작용 부위에 도달하는 시간을 지연 시간 T\displaystyle T라고 하자. 측정을 통해 구간 [−T, 0]\displaystyle [-T,~0]에서 시간에 따른 작용 부위의 약물 농도 값을 얻었을 때, 구간 [0,∞)\displaystyle [0,\infty)에서 약물 농도 f(t)\displaystyle f(t)를 구하는 것은 매우 어려운 일일 수도 있지만, 우리가 관심을 갖고 있는 평형상태의 존재성과 평형상태로의 수렴성은 수학적으로 접근해볼 수 있다.

(나) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 정의된 연속함수 f(t)\displaystyle f(t)가 f(a)<f(b)\displaystyle f(a)<f(b)를 만족할 때, 임의의 실수 c∈(f(a),f(b))\displaystyle c\in(f(a),f(b))를 택하면 f(α)=c\displaystyle f(\alpha)=c인 점 α∈(a,b)\displaystyle \alpha\in(a,b)가 존재한다는 사실을 연속함수의 ‘중간값의 정리’라고 한다. 이러한 α\displaystyle \alpha는 여러 개 존재할 수도 있는데 그 중 가장 작은 값을 α1\displaystyle \alpha_{1}이라 하면, α1\displaystyle \alpha_{1}은 아래의 성질을 만족한다.t<α1\displaystyle t<\alpha_{1}일 때는 f(t)<c\displaystyle f(t)<c이고, t=α1\displaystyle t=\alpha_{1}일 때는 f(α1)=c\displaystyle f(\alpha_{1})=c이다.

논제 1. T1\displaystyle T_{1}을 0<T1<1\displaystyle 0<T_{1}<1인 실수라고 하자. 함수 g(t)\displaystyle g(t) (−T1≤t≤0)\displaystyle (-T_{1}\leq t\leq0)와 함수 f(t)\displaystyle f(t) (t≥−T1)\displaystyle (t\geq-T_{1})는 다음 관계식 (1), (2)를 만족하는 연속함수들이다.f(t)=g(t)(−T1≤t≤0)(1)\displaystyle f(t)=g(t)\qquad(-T_{1}\leq t\leq0)\qquad(1)f(t)=−∫t−T1tf(s)ds(t≥0)(2)\displaystyle f(t)=-\int_{t-T_{1}}^{t}f(s)ds\qquad(t\geq0)\qquad(2)구간 [−T1, 0]\displaystyle [-T_{1},~0]에서 함수 ∣g(t)∣\displaystyle |g(t)|의 최댓값을 M1\displaystyle M_{1}으로 정의할 때, 연속함수 f(t)\displaystyle f(t)가 다음 부등식을 만족함을 보여라.∣f(t)∣≤M1 (t>0)\displaystyle |f(t)|\leq M_{1}~(t>0)※ 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속함수 h(t)\displaystyle h(t)에 대해서 부등식 ∣∫abh(t)dt∣≤∫ab∣h(t)∣dt\displaystyle \left|\int_{a}^{b}h(t)dt\right|\leq\int_{a}^{b}|h(t)|dt 이 성립한다.

논제 2. 논제 1과 같은 상황에서 수학적 귀납법을 이용하여 0\displaystyle 0 이상의 모든 정수 n\displaystyle n에 대하여t≥nT1\displaystyle t\geq nT_{1}일 때,　∣f(t)∣≤T1n+1M1\displaystyle |f(t)|\leq T_{1}^{n+1}M_{1}임을 보여라.

논제 3. 약물의 효과를 알아보기 위해, 쥐에 특정한 약물을 투여하는 실험을 진행하였다. f(t)\displaystyle f(t)를 시간 t\displaystyle t에서 쥐의 특정 부위의 약물 농도라고 하자. 0<T2<1\displaystyle 0<T_{2}<1일 때 구간 [−T2, 0]\displaystyle [-T_{2},~0]에서 연속인 농도함수 g(t)\displaystyle g(t)를 측정하고, 또한 t>0\displaystyle t>0일 때 f(t)\displaystyle f(t)의 변화에 관한 아래의 관계식을 세웠다.f(t)=g(t)(−T2≤t≤0)(3)\displaystyle f(t)=g(t)\qquad(-T_{2}\leq t\leq0)\qquad(3)f(t)=−∫t−T2tf(s)ds+g(0)+∫−T20g(s)ds(t≥0)(4)\displaystyle f(t)=-\int_{t-T_{2}}^{t}f(s)ds+g(0)+\int_{-T_{2}}^{0}g(s)ds\quad(t\geq0)\quad(4)

이 관계식들로부터 연속함수 f(t)\displaystyle f(t)가 시간이 지남에 따라 상수인 평형상태 E∞\displaystyle E_{\infty}로 수렴한다고 가정하고 E∞\displaystyle E_{\infty}를 추측해보자. 시간 t\displaystyle t가 충분히 크면, 구간 (t−T2, t)\displaystyle (t-T_{2},~t)에서 f(t)\displaystyle f(t)가 E∞\displaystyle E_{\infty}에 근접하므로 식 (4)로부터 아래 관계식을 얻을 수 있다.E∞≈−∫t−T2tE∞ds+g(0)+∫−T20g(s)ds=−T2E∞+g(0)+∫−T20g(s)ds\displaystyle \begin{aligned}E_{\infty}&\approx-\int_{t-T_{2}}^{t}E_{\infty}ds+g(0)+\int_{-T_{2}}^{0}g(s)ds\\&=-T_{2}E_{\infty}+g(0)+\int_{-T_{2}}^{0}g(s)ds\end{aligned}

이로부터 E∞\displaystyle E_{\infty}을 아래와 같이 두고 실제로 f(t)\displaystyle f(t)가 이 값으로 수렴함을 보이고자 한다.E∞=11+T2{g(0)+∫−T20g(s)ds}\displaystyle E_{\infty}=\frac{1}{1+T_{2}}\left\{g(0)+\int_{-T_{2}}^{0}g(s)ds\right\}

3-1. 구간 [−T2, 0]\displaystyle [-T_{2},~0]에서 함수 ∣g(t)−E∞∣\displaystyle |g(t)-E_{\infty}|의 최댓값을 M2\displaystyle M_{2}라고 하자.t≥nT2\displaystyle t\geq nT_{2}일 때,　∣f(t)−E∞∣≤T2n+1M2\displaystyle |f(t)-E_{\infty}|\leq T_{2}^{n+1}M_{2}임을 보여라.

3-2. t\displaystyle t가 무한대로 감에 따라 f(t)\displaystyle f(t)가 E∞\displaystyle E_{\infty}로 수렴함을 보여라.

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