자연계열 3번

(가)함수 $\displaystyle \log_{2}$를 정의하려면 우선 지수함수 $\displaystyle h(t)=2^{t}$과 그 성질을 알아야 한다. 지수함수의 특성 중 하나는, 양수 $\displaystyle a$가 주어졌을 때, $\displaystyle t$에 관한 방정식 $\displaystyle 2^{t}=a$의 근이 하나만 존재하는 것이다. 만약 $\displaystyle 2^{b}=a$이면, $\displaystyle b=\log_{2}(a)$로 표기하고 $\displaystyle b$를 2를 밑으로 하는 $\displaystyle a$의 로그라고 부른다. $\displaystyle y=\log_{2}(x)$는 함수이지만 $\displaystyle \log_{2}(5)$의 근삿값을 구하는 것도 쉬운 일이 아니다. 그럼에도 불구하고 우리는 함수 $\displaystyle \log_{2}$의 성질을 지수함수 $\displaystyle h$의 성질로부터 이끌어낼 수 있다.

(나)우리는 일상생활에서 ‘기하급수적으로 증가한다’ 또는 ‘지수함수적으로 증가한다’라는 표현을 자주 사용한다. 이러한 표현은 지수함수가 다항함수보다 매우 빠르게 증가한다는 뜻을 내포하고 있다. 예를 들어, 짧은 기간에는 이자율이 높은 단리 예금이 더 유리할 수도 있겠지만, 많은 경우에는 단리예금보다 복리예금이 유리할 것으로 기대한다. 이러한 선택의 이면에 있는 수학적인 문제를 생각해 보자.지수함수와 다항함수의 크기를 비교할 때, 우리는 다음 식$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t^{a}}{e^{t}}=0$　(단, $\displaystyle a$는 양의 실수)을 먼저 떠올리게 된다. 이 식의 의미는 주어진 $\displaystyle a$가 아무리 크더라도 큰 $\displaystyle t$에 대해서 $\displaystyle e^{t}$은 $\displaystyle t^{a}$에 비해 비교할 수 없을 정도로 크다는 것이다.

그렇지만 $\displaystyle a>0$가 주어졌을 때, $\displaystyle e^{t}$이 $\displaystyle t^{a}$보다 작은 경우도 있다는 점에 조심해야 한다(예: $\displaystyle e^{2}<2^{5}$). 따라서 자연스럽게 다음과 같은 미완성 명제를 생각해 볼 수 있다.미완성 명제: $\displaystyle a>0$일 때, $\displaystyle t>(\qquad)$이면, $\displaystyle e^{t}>t^{a}$이다.위의 괄호 안에는 $\displaystyle a$에 관한 표현이 들어가야 할 것이다.

(다)$\displaystyle a>0$가 주어졌을 때, $\displaystyle t$에 관한 방정식 $\displaystyle e^{t}=t^{a}$의 양의 근이 존재하면(논제 1 참조), 그 중 가장 큰 근을 $\displaystyle f(a)$라고 하자. 즉 $\displaystyle b$가 $\displaystyle e^{b}=b^{a}$을 만족시키는 가장 큰 양수이면 $\displaystyle b=f(a)$이다. 그러면 $\displaystyle f$를 적당한 실수의 구간을 정의역으로 갖는 함수로 인식할 수 있을 것이다(논제 2 참조). 함수 $\displaystyle f$를 생각하는 이유는 제시문 (나)의 미완성 명제의 괄호 안에 들어갈 최선의 답이 $\displaystyle f(a)$이기 때문이다. 그러나 $\displaystyle f(a)$를 $\displaystyle a$의 식으로 닫힌 표현하는 방법을 모를 뿐만 아니라, 계산기 없이는 $\displaystyle f(5)$의 근삿값을 구하는 것도 쉬운 일이 아니다.