자연계열 1번

[가] 19세기 후반 독일의 수학자 칸토어(Cantor)는 한 집합의 원소들을 다른 집합의 원소들과 일대일 대응시킬 수 있다면 두 집합의 크기는 같다고 정의했고, 이런 아이디어를 바탕으로 칸토어는 무한을 향한 첫발을 내딛었다. 부분의 개수들을 합하면 전체의 개수가 되는 일상의 논리로 비추어볼 때, 짝수인 자연수들의 집합은 자연수 전체의 집합의 크기에 절반일 것이라 추측하는 것이 자연스러울 수도 있으나, 각각의 자연수를 그 수의 두 배가 되는 수에 대응시키는 방법은 자연수 전체의 집합과 짝수인 자연수들의 집합 사이에 일대일 대응이 되므로 두 집합이 동일한 크기를 갖는다고 칸토어는 결론지었다. 더불어 ⓐ칸토어는 수열 $\displaystyle \frac11,\frac12,\frac21,\frac13,\frac22,\frac31,\frac14,\frac23,\frac32,\frac41,\frac15,\frac24,\cdots$에서 임의의 자연수 $\displaystyle m,n$에 대하여 $\displaystyle \frac nm$은 $\displaystyle \frac12(n+m-2)(n+m-1)+n$번째에 나타는 것에 착안해서 자연수 집합과 양의 유리수 전체의 집합은 크기가 같음을 발견했다. 한 걸음 더 나아가 칸토어는 실수의 집합은 크기에서 유리수의 집합과 훨씬 차이가 나는 것을 보였다. 칸토어의 무한집합 이론은 큰 논란을 불러일으켰지만, 수학의 영역을 크게 확장시켰고 결국 다수의 수학자들에게 순수 인간 이성 활동의 최고 성과라는 찬사와 함께 큰 환영을 받았다.

[나] 이 세상의 모든 정보를 담고 있는 컴퓨터와 거기에 연결된 프린터 K가 있다고 하자. 프린터 K는 우리가 컴퓨터에 어떤 명제를 입력했을 때, 그 명제가 참인 경우에만 인쇄하도록 만들어졌다. 이 때 프린터 K는 진리 판단 장치가 완벽히 갖추어졌다고 가정한다. 이제 이 컴퓨터에 다음과 같은 명제 S를 입력시키자.명제 S : ”프린터 K는 결코 이 명제를 인쇄하지 않는다.”만일 프린터 K가 이 명제를 인쇄한다면, 명제 S는 거짓이 될 것이고, 따라서 프린터 K는 거짓 명제를 인쇄한 셈이다. 그러므로 프린터 K는 결코 명제 S를 인쇄하지 않을 것이며, 위의 논리에 따르면 이는 명제 S가 참이라는 것을 의미한다.

[다] 수학 역사상 가장 논란이 많았고 충격적이었던 사건은 1931년 괴델(Gödel)이 발표한 불완전성 정리일 것이다. 이를 간단히 서술하면 아래와 같다.

[라] “2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.”는 잘 알려진 ‘골드바흐(Goldbach)의 추측’은 그 자체가 분명히 참 아니면 거짓이지만, 지난 265년 동안 증명되지도 반증되지도 못한 채, 시간이 흘러가면서 수학자들의 관심에서 서서히 멀어지고 있다.