자연계열 2번

(1) 10달러를 투자하고 위에서 설명한 게임을 했을 때 각 유형의 기대금액은 A형 11.5달러, B형 13달러, C형은 12.5달러가 되므로 기대값이 큰 게임을 유리한 게임이라고 여긴다면 B형의 게임을 선택할 것이고, 투자금액 전액손실의 위험은 피하면서 큰 수익을 추구하는 입장이라면 B형의 게임을 선택할 것이나, 안전을 위해 수익을 포기할 용의가 있는 보수적인 입장을 견지한다면 A형의 게임을 선택할 것이다. 여기서 각각의 게임 모두 기대값이 10 달러보다 크므로 나름대로의 이유에서 세 유형 모두가 적절한 선택이 될 수 있다.Correction. B형에는 수령금액이 $\displaystyle 0$달러인 경우가 있어 “전액 손실의 위험은 피하면서”라는 조건과 맞지 않는다. C형은 최저 수령금액이 $\displaystyle 5$달러이고 A형보다 기댓값이 크므로, 이 문장의 “B형”은 “C형”으로 읽는 것이 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.가장 위험한 게임을 선택하는 것은 브라운 씨가 개인적으로 위험의 정의를 어떻게 내리느냐에 달려있다. 수령할 수 있는 금액의 분산을 계산하면 A형은 12.25, B형은 54.33 이고 C형은 56.25의 순서가 됨을 간단한 계산으로 알 수 있으므로 위험을 배당된 금액의 분산이라고 정의한다면 C형이 가장 위험하다는 결론에 이르지만, 게임비용 10 달러의 완전한 손실 가능성이 있다는 점에서 게임 B가 가장 위험하다고 생각할 수도 있다. 그러나 B형은 원금 이상을 확보할 확률이 C형(그리고 A형)보다 작기 때문에 C형보다 덜 위험하다고 생각할 수도 있다.Correction. 원금 이상을 받을 확률은 B형이 $\displaystyle \frac56$, A형과 C형이 각각 $\displaystyle \frac12$이다. 따라서 이 문장의 “작기”는 “크기”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) 매번 10 달러를 투자하여 위의 게임을 50번 시행하는 경우는 기대값이 가장 큰 B형을 택해서 게임의 유형을 중도에 바꾸지 말고 계속 시행하는 것이 가장 적합하다. 브라운 씨에게 유리한 순서는 B형, C형, A형의 순이다. 매번 10달러를 투자해서 총 50번의 게임을 치르고 나면, 브라운 씨의 총 수령금액은 (해당 유형의 기대값)달러에 매우 근접할 것이기 때문이다.Correction. 50회 총 수령금액의 기댓값은 1회 수령금액의 기댓값의 $\displaystyle 50$배이다. 이 문장에는 배수 $\displaystyle 50$이 빠져 있으며, B형의 경우 총 수령금액의 기댓값은 $\displaystyle 50\times13=650$달러이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3) 매번 수령액을 전액 재투자하는 방식으로 50번 연속하여 위의 게임을 실행한다면 절대 피해야 할 유형은 B형이다. 주사위의 숫자가 단 한번이라도 1이 나오면 브라운 씨의 투자금액은 0원이 되기 때문이다. 위 방식은 A형은 매번 수령액이 투자액의 0.8배와 1.5배가 될 확률이 각각 1/2이고, C형은 투자액의 0.5배와 2배가 될 확률이 각각 1/2인 게임이다. 이때 A형의 수령액의 기하평균은 투자액의 1.095배이고, A형의 수령액의 기하평균은 투자액의 1배이다. 즉 10달러를 걸고 A형 게임을 실행했을 때 수령액의 기하평균은 10.95 달러이고, B형의 기하평균은 0 달러, C형의 기하평균은 10 달러가 된다는 뜻이다. 10달러를 걸고 매번 수령액을 전액 재투자하는 방식으로 50번이라는 많은 횟수의 게임을 실행하는 경우엔 수령액의 기하평균이 큰 유형을 택하는 것이 절대적으로 유리하다. 즉 브라운 씨는 A형을 선택해야 한다.Correction. 기하평균이 투자액의 1배라는 문장의 “A형”은 “C형”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.