자연계열 2번

[가] 직사각형 또는 다각형이 아닌 유한한 영역의 면적을 어떻게 구할 수 있을까? 이런 질문은 B. C. 3세기 경, 위대한 수학자인 아르키메데스(Archimedes)에 의해 처음으로 생각되었고 연구되었다. A. D. 17세기경 이르러 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)에 의해서 미분의 개념이 구체화되었다는 것을 생각한다면 아르키메데스의 연구 업적은 매우 놀라운 것이라고 할 수 있다. 그림1 과 같이 선분 $\displaystyle [a,b]$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$로 둘러싸인 넓이를 계산하기 위하여, 선분 $\displaystyle [a,b]$를 $\displaystyle n$등분 하여 그림과 같이 직사각형을 만들고 그 넓이를 더한 값을 $\displaystyle S_n$이라고 하자. 이때 선분 $\displaystyle [a,b]$를 잘게 나눌수록 $\displaystyle n$은 커지고 $\displaystyle S_n$은 원래 도형의 넓이에 가까워진다는 것이 아르키메데스의 생각이다.

[나] 이러한 생각으로부터 그림2 처럼 연속적으로 미분 가능한 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 구간 $\displaystyle a\le x\le b$를 잘게 나눈 부분 현의 길이를 합하여 호의 길이를 근사한다. 이러한 방법을 구분 구적법이라고 부르며, 이를 이용하여 적분 형태로부터 원하는 호의 길이를 얻을 수도 있다:$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt{[f(x_k)-f(x_{k-1})]^2+\left(\frac{b-a}n\right)^2}=\int_a^b\sqrt{f^{\prime}(x)^2+1}\,dx$

[다] 그런데, 반드시 현의 길이의 합으로부터 호의 길이를 구하여야 할까? 그림3 처럼 구간 $\displaystyle [a,b]$를 매우 촘촘히 분할하여, $\displaystyle \Delta_k=|x_k-x_{k-1}|$를 충분히 작게 한다면, 함수 값의 차, $\displaystyle |f(x_{k-1})-f(x_k)|$ (즉, 높이의 차 $\displaystyle \overline{PR}$) 와 현 $\displaystyle \overline{PQ}$는 매우 근사한 값을 가진다. 따라서 각 구간별 높이의 차이를 더해감으로써 호의 길이를 근사하려고 한다. 그렇다면, 연속적으로 미분 가능한 곡선 $\displaystyle f$에 대한 호의 길이가 다음과 같이 계산될 수 있다:$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{|f(x_k)-f(x_{k-1})|}{\Delta_k}\Delta_k=\int_a^b|f^{\prime}(x)|\,dx$

[라] 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 정의되고 각 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 산(山) 모양의 함수 $\displaystyle f_1$을 그림4 처럼 톱니 모양으로 바꾸는 변환을 적용하여 $\displaystyle f_n$을 만든다. 이 함수들 $\displaystyle \{f_n\}$은 구간 $\displaystyle [0,1]$의 모든 점에서 $\displaystyle 0$으로 수렴하는 수열이 된다. 각 $\displaystyle n$에 대하여 곡선 $\displaystyle f_n$의 길이는 항상 $\displaystyle 2$이다. 그러나 $\displaystyle f_n$의 극한으로 만들어진 곡선은 $\displaystyle x$-축의 $\displaystyle [0,1]$과 같으므로, 그 길이는 $\displaystyle 1$이다. 이러한 결과로부터 구간 $\displaystyle [0,1]$의 길이에 대하여 무엇을 말할 수 있을까?