자연계열 5번

각종 데이터베이스, 주식 시세표, 인구통계, 회계 자료 등의 통계자료에 나타나는 수들의 첫째 자리의 숫자를 살펴보면 독특한 패턴을 발견할 수 있다. 어떤 수 $\displaystyle x$의 첫째 자리의 숫자를 $\displaystyle d$라고 했을 때, 부등식 $\displaystyle d\times10^n\leqq x<(d+1)\times10^n$이 성립하고, 10을 밑으로 하는 로그를 이용하면 이 부등식은 $\displaystyle n+\log_{10}d\leqq\log_{10}x<n+\log_{10}(d+1)$이 된다. 이 부등식에서 $\displaystyle \log_{10}x$의 소수 부분은 $\displaystyle \log_{10}d$보다 크거나 같고 $\displaystyle \log_{10}(d+1)$보다 작다.

$\displaystyle \log_{10}x$의 소수 부분을 $\displaystyle k$라 하자. 이때 $\displaystyle k$는 확률변수로 생각할 수 있으며 0과 1 사이에 있다. 또한 확률변수 $\displaystyle k$가 균등하게 분포되어 있다고 가정하면 $\displaystyle k$가 0과 1 사이의 특정 구간에 있을 확률은 그 구간의 길이에 비례한다. 이로부터 $\displaystyle x$의 첫째 자리의 숫자가 $\displaystyle d$가 될 확률 $\displaystyle P(d)$는 다음의 식으로 표시할 수 있다.

$\displaystyle P(d)=\log_{10}\left(1+\frac1d\right)$

이 식에 따르면 첫째 자리의 숫자가 3일 확률은 약 12.5%, 6일 확률은 약 6.7% 정도가 된다. 이처럼 어떤 수의 첫째 자리의 숫자가 1에서 9까지의 특정한 숫자일 확률이 모두 같을 것이라는 예상과는 달리, 실제로는 각기 다르게 나타난다는 것을 알 수 있다. 실제 인구통계 자료에 나타난 3,261개의 수에서 그 첫째 자리 숫자를 확인한 결과는 다음 표와 같다.