숙명여대 2010학년도 수시 자연계열 3번 해설

<가> 거리(distance)는 사물들이 얼마나 멀리 떨어져 있는가를 수치로 나타낸 것이다. 물리학이나 일상적인 상황에서 거리는 물리적인 거리나 시간의 간격을 말하는 것이 보통이나 경우에 따라 다른 기준을 따르기도 한다. 수학 용어로서의 거리는 더 엄밀하게 정의되고 사용된다. 수학에서 거리 공간은 원소들 사이의 거리가 정의된 집합을 뜻한다. $\displaystyle R$ 을 실수라고 하면, 집합 $\displaystyle M$ 의 임의의 원소 $\displaystyle a,b,c$ 에 대해 정의역이 $\displaystyle M\times M$ 이고, 공역이 $\displaystyle R$ 인 함수 $\displaystyle d$ 가, 즉 $\displaystyle d:M\times M\to R$ , 다음 조건을 만족할 때 함수 $\displaystyle d(a,b)$ 를 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이의 거리라고 한다.

① $\displaystyle d(a,b)\ge0$ 이고 $\displaystyle a=b$ 일 때만 $\displaystyle d(a,b)=0$ 이 성립한다.② $\displaystyle d(a,b)=d(b,a)$ (대칭성)③ $\displaystyle d(a,b)\le d(a,c)+d(c,b)$ (삼각부등식)

이러한 성질을 만족하는 모든 함수가 거리로 정의될 수 있기 때문에 같은 집합에 대해 다양한 형태의 거리를 정의할 수 있다. 보통의 경우, $\displaystyle n$ -차원 실수로 이루어진 $\displaystyle M=R^n$ 공간상의 두 원소 $\displaystyle (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 와 $\displaystyle (b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 의 거리로 아래에 정의된 유클리드 거리(2-노름 거리)가 사용되지만 상황에 따라 다른 노름*(norm)이 사용되기도 한다. 두 원소 $\displaystyle (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 와 $\displaystyle (b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 에 대해, 일반적으로 많이 사용되는 거리의 정의는 다음과 같다.

▪ 1-노름거리 $\displaystyle =\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|$

▪ 2-노름거리 $\displaystyle =\left(\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|^2\right)^{1/2}$

▪ $\displaystyle p$ -노름거리 $\displaystyle =\left(\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|^p\right)^{1/p}$

▪ $\displaystyle \infty$ -노름거리 $\displaystyle =\lim_{p\to\infty}\left(\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|^p\right)^{1/p}=\max(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\cdots,|a_n-b_n|)$

여기서 $\displaystyle p$ 는 정수일 필요는 없지만 1보다 작을 수 없다. 유클리드 거리는 2-노름거리로 $\displaystyle n=2$ 일 때의 피타고라스 정리를 일반적인 $\displaystyle n$ 으로 확장시킨 것이다.

[그림 2]는 $\displaystyle n=2$ 이고 $\displaystyle (a_1,a_2)$ 을 원점 $\displaystyle (0,0)$ 으로 설정했을 때 거리가 1이 되는 $\displaystyle (b_1,b_2)$ 를 $\displaystyle (x,y)$ 좌표상에 표시한 것이다. 2-노름거리는 두 점을 자로 재었을 때 얻어지는 직관적인 거리를 의미하며 [그림 2]에서 원으로 표시된다. 강체(剛體)는 회전을 시켜도 길이가 변하지 않기 때문에 물리적 공간에서는 유클리드 거리가 가장 자연스럽다. [그림 2]에서 마름모(점선)로 표시되는 1-노름거리는 사각형 블록으로 이루어진 도시를 차로 운전한 거리와 같다고 하여 택시 노름(taxicab norm) 또는 맨해튼 거리(Manhattan distance)라고도 한다. $\displaystyle \infty$ -노름거리는 [그림 2]에서 정사각형(실선)으로 표시되는 것으로 체스보드에서 두 정사각형 사이를 왕이 이동해야 하는 거리를 나타낸다. $\displaystyle p$ 가 $\displaystyle 1,2,\infty$ 가 아닌 $\displaystyle p$ -노름은 특별한 경우를 제외하고는 잘 사용하지 않는다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의할 수 있는 거리는 유일하지 않다.

* 노름(norm): 벡터공간의 벡터에 대해 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’를 부여하는 함수

3. (1) 아래 $\displaystyle (x,y)$ 그래프에 표시된 두 점, B와 C의 좌표는 각각 $\displaystyle (1+\sqrt2,1)$ 와 $\displaystyle (1,1)$ 이며, 이 경우 A에서 C까지의 2-노름거리와 B에서 C까지의 2-노름거리는 모두 $\displaystyle \sqrt2$ 가 된다. A와 C 사이의 거리 및 B와 C 사이의 거리를 1-노름 및 $\displaystyle \infty$ -노름을 기준으로 구하고, 각 기준에 따라 C가 A와 B 중 어디와 더 가까운지를 판정하고, 그러한 결과가 시사하는 바가 무엇인지를 서술하시오. (답안지 공간 내에서 서술)

(2) $\displaystyle (a_1,a_2)=(2,6)$ 이고 $\displaystyle (b_1,b_2)=(k,2k)$ 라고 할 때, 두 위치 간의 $\displaystyle \infty$ -노름거리를 최소로 하는 $\displaystyle k$ 를 구하시오.

(3) 임의의 $\displaystyle n$ 에 대해, 두 점, $\displaystyle (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 과 $\displaystyle (m,m,\cdots,m)$ 사이의 2-노름거리를 최소로 하는 $\displaystyle m$ 을 구하시오.

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대학 공개 우수답안 사례 — 정보과학부 모○○

(1) A에서 C까지, B에서 C까지의 2-노름거리는 제시문 <가>에 의해 모두 $\displaystyle \sqrt2$ 로 같다. 그러나 1-노름거리와 $\displaystyle \infty$ -노름거리는 다르다. 제시문 <가>에서 제시한 바와 같이 두 원소 $\displaystyle (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 와 $\displaystyle (b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 에 대해 1-노름거리 $\displaystyle =\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|$ 이고, $\displaystyle \infty$ -노름거리는 $\displaystyle \lim_{p\to\infty}\left(\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|^p\right)^{1/p}=\max[|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\cdots,|a_n-b_n|]$ 이다. 이를 이용하여 AC사이의 거리와 BC사이의 거리를 구하면,AC사이의 1-노름거리 $\displaystyle =|0-1|+|0-1|=2$ , $\displaystyle \infty$ -노름거리 $\displaystyle =\max[|-1|,|-1|]=1$ 이고BC사이의 1-노름거리 $\displaystyle =|\sqrt2+1-1|+|1-1|=\sqrt2$ , $\displaystyle \infty$ -노름거리 $\displaystyle =\max[|\sqrt2|,|0|]=\sqrt2$ 이다.그러므로 1-노름거리에 따르면 BC사이 거리가 가깝고 $\displaystyle \infty$ -노름거리에 따르면 AC사이 거리가 더 가깝다. 이는 기준에 따라 상대적인 거리의 원근이 달라질 수 있음을 보인다.

(2) $\displaystyle (a_1,a_2)=(2,6)$ 이고 $\displaystyle (b_1,b_2)=(k,2k)$ 일 때, 두 위치 간 $\displaystyle \infty$ -노름거리를 구하는 식은 $\displaystyle \max[|2-k|,|6-2k|]$ 이다. $\displaystyle y=2x$ 는 점 B $\displaystyle (b_1,b_2)$ 가 지나면서 그리는 자취이다. $\displaystyle \infty$ -노름거리는 제시문 <가>에서와 같이 정사각형 변에 이르는 거리가 모두 일정하게 측정되므로 최소가 되는 거리는 점 A $\displaystyle (2,6)$ 와 $\displaystyle y=2x$ 가 2-노름거리가 최소인 점에서의 거리와 같다. 즉, $\displaystyle y=-\frac12(x-2)+6$ 과 $\displaystyle y=2x$ 의 교점인 $\displaystyle (\frac{14}5,\frac{28}5)$ 이다.즉, $\displaystyle \infty$ -노름거리가 최소인 $\displaystyle k$ 는 $\displaystyle \frac{14}5$ 이다.

(3) 임의의 점 $\displaystyle n$ 에 대해, 두 점 $\displaystyle (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 과 $\displaystyle (m,m,\cdots,m)$ 사이의 2-노름거리가 최소인 $\displaystyle m$ 은 우선 2-노름거리를 구하는 식으로 정리하면, $\displaystyle \sqrt{|a_1-m|^2+|a_2-m|^2+\cdots+|a_n-m|^2}$ 이다. 즉 두 점 사이의 가장 일반적인 거리 공식이다. 최솟값을 $\displaystyle k$ 라 놓고 양변을 정리하면 $\displaystyle nm^2-2m(a_1+\cdots+a_n)+a_1^2+\cdots+a_n^2=k^2$ 이다. 이 식이 최솟값을 가지기 위한 $\displaystyle m$ 값은 $\displaystyle m$ 에 대한 함수식의 미분값이 0이 되는 $\displaystyle m$ 값이다. 즉 극솟값을 가지는 $\displaystyle m$ 이다. $\displaystyle 2nm-2(a_1+a_2+\cdots+a_n)=0$ 인 $\displaystyle m$ 은 $\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ 이다.

이 답안에서는 (2)번 문항에서 문제 해결을 위한 접근 방법은 일견 타당했으나 k가 가질 수 있는 값에 따른 ∞-노름거리의 추정에 있어서 실수가 있어 정확한 값을 제시하지는 못했다. 그러나 (1)번 문항에서 거리의 정의에 따른 각 지점간의 거리 계산이 정확했고, 얻어진 결과의 의미 해석에 있어서도 거리의 정의가 달라짐에 따라 동일한 대상들 간의 원근이 달라질 수 있다는 것을 정확하게 인지하고 있음을 기술하고 있다. (3)번 문항의 경우에도 문제의 핵심을 정확하게 이해하여 식을 도출하고 이로부터 미분의 특성을 활용하여 정확한 답안을 도출하고 있다.

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자연계열 3번

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